无穷大就是无限大吗（无穷大到底有多大）

今天开始介绍本数学科普神作《从一到无穷大》，这本书最厉害的是有没有基础都能看懂。

先来看看无穷大到底有多大吧。

无穷大的数字，在数学上经常能碰到，但是没人能真正想象出，无穷大的数字到底有多大。数学家对无穷大做过很多研究，发现它的性质，跟普通的数字完全不同。最先思考无穷大这个问题的是一位叫康托尔的数学家，他提出了一个问题：像1、2、3、100这样的整数，一共有无穷多个；一条线上点的数目，也是无穷多个。那整数的个数和一条线上点的个数，到底哪个更大些呢？你肯定会想，这不是抬杠吗？既然都是无穷大了，那还怎么比呢？无处下手嘛。但数学家还真想出了一个办法，叫“一 一对应”。

用一个简单的例子来说明一下。假如有一群不懂数学的原始人，他们手上有一堆石头和一堆铜钱，那他们怎么知道是石头的数目多，还是铜钱的数目多呢？你可以想象，他们肯定会把石头和铜钱一个个摆开，然后一一对应，用一个石头对应一个铜钱，如果最后剩下了铜钱，那就是铜钱多，剩下了石头，那就是石头多，如果刚好能做到一一对应，一个不多一个不少，那两者就一样多。

数学家们在比较两个无穷大的大小的时候，用的就是类似的方法。比如说，奇数和偶数的数目都是无穷的，那奇数和偶数哪个更多呢？你可以用奇数1对应偶数2，奇数3对应偶数4，奇数5对应偶数6……这么一来就会发现，奇偶数可以一一对应，所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。这个很容易理解，但如果往下再追问一层，问题就复杂了。

比如说，偶数的总数和整数的总数，哪个更多呢？整数包含了所有的偶数和奇数，所以乍看起来，肯定是整数要比偶数多。但如果你用一一对应的规则来算一下的话，就会发现结论好像不是这样：你看，整数1可以对应偶数2，整数2可以对应偶数4，整数3可以对应偶数6，你可以一直这么对应下去，发现二者刚好是可以一一对应，一个不多一个不少的。也就是说，整数的数目，跟偶数的数目，其实是一样多的。由此可见，在无穷大的情况下，部分是可以等于整体的，这跟我们的常识很不一样，是违背我们的直觉的。

如果你想形象化地理解这个问题，那可以借助德国数学家希尔伯特提出的一个著名的思想实验，叫“希尔伯特的旅馆”。希尔伯特旅馆是一家拥有无穷个房间的旅馆，而且所有的房间都已经住满了。那如果这时你要去住店，旅馆能不能装得下呢？老板说，可以！我把你安排到1号房间，然后把原来住在1号房的旅客移到2号房间，2号房的旅客移到3号房，3号房的旅客再移到4号房……一直这么移下去，大家就都能有房间住。那如果说，你不是一个人去住店，而是带了无穷多的人一起去住店，那旅馆能不能住得下呢？答案还是可以。老板可以把1号房的旅客安排到2号房，2号房的旅客安排到4号房，3号房的旅客安排到6号房……这么一直递推下去，所有新来的人都可以住进去。

从“希尔伯特的旅馆”中就能看出，在无穷大的情况下，整体和部分有可能是一样大的。无穷大加上无穷大，还是等于无穷大，日常的数学观念在这里失效了。那是不是说，所有无穷大的数字都是相等的呢？也不是。我们可以回到刚才康托尔提出的那个问题，整数的个数，和一条线段上的点的个数，哪个更多呢？

继续用一一对应的方法来看一下。我们可以给线段上的每一个点都赋予一个数字，这个数字就是它距离线段一个端点的距离，这很好理解。那这条线段上不光有代表整数的点，还会有代表小数的点，还有代表无限不循环小数的点。如果你用整数去一一对应这些点的话，就会发现，无论你用什么方式，总有一些点是你对不上的。所以，虽然二者都是无穷大的，但线段上点的数目，要大于整数的数目。也就是说，即使都是无穷大，但不同的无穷大之间也可能存在着大小区分。有些无穷大，就比其他的无穷大要高上一个等级。

目前数学家发现，无穷大数一共分了三个等级。一级，就是整数的数目。二级，是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。什么意思呢？就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线，随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数，是无穷大的，而且是第三级无穷大，是最高等级的无穷大。直到现在为止，数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。

题外话：读书可以扩充我们知识边界，获得更多看问题的视角，但盲从是要不得的...

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