哪种尺寸的瓷砖铺出来大气（什么样的瓷砖图形能够完美地平铺）

将形状完全相同的瓷砖平铺，能够描绘出一幅神奇而又美丽的几何图案。从建筑装饰到艺术作品，在许多场所我们都能看到那种用瓷砖平铺出来的图案，而这其中就隐藏着深奧的数学。到底是怎样的图形才能既无缝隙又无重叠地铺满整个平面呢?如何才能呈现像画家埃舍尔所绘版画那样独特的拼贴图案?本文将介绍美丽与数学交织的拼瓷砖的几何学。

在人行道或墙壁上，形状简单的瓷砖无缝拼贴，描绘出了美丽的几何图案，这种场景大家都见过吧。或许有些读者小时候还曾经踩着那些瓷砖玩耍，或者盯着那些瓷砖看不够。大家都知道，不同形状的瓷砖和不同的拼贴方法，可以呈现出千变万化的几何图案，而这里面实际蕴藏着数学知识。

数学构建美丽世界

无论哪种形状的瓷砖都能既无缝隙又无重叠地铺满无穷平面吗?这个问题在数学中叫做“铺砌”。据说，人们把用几何图案做装饰的问题看作是铺砌的学问，竟然可以追溯到公元前1000年左右的古希腊时代。古希腊人把研究图形拼贴问题得出的成果应用于装饰教堂和宫殿的“马赛克”几何图案中。之后，马赛克继续发展，在建筑装饰领域被使用了几千年。西班牙错觉图形大师莫里茨·埃舍尔( Maurits Escher,1898-1972)被阿尔罕布拉宫的马赛克装饰所吸引，开始使用神秘的几何来表达他所看到的事物，创作了许多优秀的作品。

上图是深受埃舍尔作品影响的日本设计师藤田伸的作品“心随意动的鸟”。以鸟为主题，采用形状相同、大小一致的和平鸽，

通过图形的旋转或翻转拼贴而成。如何才能创作出如此神奇的图案呢?让我们来了解下在背后支撑贴瓷砖之美的深奥的数学吧。

哪种图形可以平铺?

首先，我们来考查一个最简单的图形"正多边形”的瓷砖拼贴。从所有边长和内角都相等的正三角形(等边三角形)到正七边形中，可以既无缝隙又无重叠地平铺的有哪几个?

答案请见插图。能够平铺的是正三角形、正方形和正六边形，无法平铺的是正五边形和正七边形，能够平铺的正多边形与其他正多边形的区别在于360°与内角度数相除所得的值不同。例如，内角为60°的正三角形，相除的结果为整数6。这意味着,6个正三角形的边相互连接，旋转一周排列，正好为360°。再来看看正五边形，其内角为108°，相除所得结果是3.333……这种带有零头的数，结果是无法平铺。3个不够360°,4个又有剩余，所以无法既无缝隙又无重叠地平铺。

实际上，边长数多于正七边形的正多边形是无法平铺的，其计算结果不是整数。能够平铺的正多边形只有3个。这样考虑的话，我们应该就能理解，美丽的拼瓷砖与“数学”息息相关。

无论哪种三角形或四边形都能够平铺！

那么，继正多边形之后，我们再做进一步的考查。各种形状的三角形与四边形，在哪些情况下是可以平铺的呢?实际上，可能有悖于我们的直觉，无论哪种三角形或四边形,肯定都能平铺。

如上图所示，将某个三角形旋转180°，然后与原三角形进行组合，肯定会形成相对的边相互平行的“平行四边形”。将该平行四边形横向拼贴，就会成为无穷长的横条。然后将该横条纵向拼贴，就能铺满整个平面，这应该很容易理解。像这样，所有的三角形都可以平铺。那四边形情况如何呢?将某个四边形旋转180°，然后与原四边形进行组合，这次会形成“平行六边形”。将该平行六边形横向拼贴，使平行六边形中一组相互平行的边重合，从而形成凹凸的横条。然后将该横条纵向拼贴，此时，由于横条上方的凹凸部分与下方的凹凸肯定会重合，所以也可以平铺。呈楔形、有部分凹陷的四边形(凹四边形)也可以平铺。两个凹四边形组合在一起，会形成略有歪斜的平行六边形。与没有凹陷的普通四边形(凸四边形)的情况一样，该平行六边形也可以平铺。无论哪种形状的三角形、四边形都可以平铺，据说，这个事实早在古希腊时代就已为所知。

一篇毕业论文开启了“凸五边形平铺”的时代

接下来，我们将话题转向五边形的铺砌。正五边形是不能平铺的，但如果是改变了边长与内角度数后略有歪斜的凸五边形就不同了，至今已发现有15种可以平铺。这15种凸五边形中，超过1/3不是数学家发现的，这是一段非常有趣的历史。

100年前的1918年，凸五边形能够平铺这个话题首次被作为数学问题提及。德国法兰克福大学的卡尔·莱因哈特(KarlReinhardt)发表了“5种可以平铺的凸五边形”的论文。该论文指出，对该5种凸五边形的边长与内角度数设定条件，“满足条件的凸五边形肯定能够平铺”。

例如，上面插图类型1的凸五边形，设定的条件是“1组连续三个内角之和为360°。满足该条件的凸五边形有无数个，而且的确所有这些凸五边形都可以平铺。莱因哈特的这个发现正是一个难题的开始，即“有多少种凸五边形可以平铺”。

同时，莱因哈特还证明了可以平铺的凸六边形只有3种，不存在边长数量多于凸七边形且可以平铺的图形。也就是说，在当时，凸多边形的平铺之谜还只限于凸五边形。

新类型的发现者是一位家庭主妇

1968年,数学家理查德·克什纳( Richard Kershner)在一篇数学论文中又提出了3种可以平铺的凸五边形(类型6-8)。其后一段时间，人们认为莱因哈特与克什纳提出的8种凸五边形已是全部。然而，这种停滞状态被一位“非数学家”打破了。

1975-197年间，人们又发现了5种可以平铺的凸五边形。其中，发现第10种的是计算机学家理查德·詹姆斯( Richard James)三世，发现第9.11、12.13种的是家庭主妇玛乔里赖斯( Marjorie Rice)他们并非在大学里研究数学的数学家。赖斯发现这几个凸五边形的时候已经高中毕业35年了。

赖斯喜欢上凸五边形平铺的契机是1975年科学杂志《科学美国人》上刊载的数学家马丁·伽德纳( Martin gardner,1914~2010)的专栏。赖斯阅读了该专栏介绍的多边形平铺，而由于她之前爱好拼花手工，于是，在照顾孩子的空闲时间，她开始思考各种凸五边形的平铺图案。她把这些图案送到伽德纳那里，经过数学家的验证，发现是新型可平铺凸五边形。在之后的1985年，大学生罗尔夫·斯坦因( Rolf stein)发现了第14种凸五边形。

而在30年之后的2015年，数学家凯西·曼恩( Casey Mann)等研究人员使用超级计算机,发现了第15种凸五边形。

据报告称，目前发现的可平铺的凸五边形共15种，有些还在进行验证。如果这15种就是全部，那其中1/3的发现者不是数学家。日本铺砌设计协会会长荒木义明认为，“铺砌就是这样一个领域，哪怕是小孩子，通过实际进行图形排列也可以发现数学的美与乐趣”。

让我们画一个神奇的平铺图案吧。

埃舍尔留下了许多用曲线勾勒的平铺图案版画。这些简单的多边形平铺图案，成为了具有独创性的复杂作品的创作基础。他到底是如何创作出这些神奇作品的?在这里，我们介绍一个最简单的方法。

首先，选一个作为基础的多边形平铺图案(上图)。当然可以选凸五边形的平铺图案，但这次我们以更加简单的长方形平铺图案为基础进行思考。通过稍微改变该长方形的形状，最终就可以画出复杂的平铺图案了。

例如，我们使长方形右侧凸出、左侧凹陷，并使凸出部分的形状与凹陷部分的形状致。这样，就形成了稍微歪斜但可以平铺的图形。在该歪斜图形的基础上，进一步在上下两边重复同样的操作，这样变形后的图形也可以实现平铺。根据不断重复变形所形成的图形画一幅可爱的图画，如此就完成了插图中小鸟形状的平铺图案。

如果最初选择其他平铺图案，或使凸出、凹陷的位置发生变化，这样就可以画出其他图案。在埃舍尔留下的笔记中，还记录了几种基本的平铺图案。大家可以运用这种方法，挑战一下更加复杂的图案，也是很有意思的事情。

用剪刀剪开正四面体，制作平铺图案

还有一种画平铺图案的奇特方法。即，用剪刀剪开由4个正三角形组合而成的“正四面体”。但剪切时，需要经过正四面体的四个顶点,注意不能剪散了，如下图。

不可思议的是，剪开后为一块瓷砖的形状，这种瓷砖无论哪种形状都必定能够平铺。我们来看上面插图的案例。即使切口是复杂的曲线，也能够很好地铺满整个平面。仔细观察展开图，大家应该会明白，切口凸出的部分与别处凹陷的部分是相对应的。

在拼贴瓷砖时，凸出部分与凹陷部分相互契合，从而可以复原原来正三角形的面。在这个平铺图案中，每个用不同颜色区分的面完美地排列在一起，看上去像正三角形的平铺。换句话说，这是以正四面体的展开图之一……“四个正三角形形成的平行四边形”(沿着边一次性剪开)的平铺为基础，进行变形而得出的。

该方法是日本东京理科大学的秋山仁教授发现的，所以被命名为“秋山的四面体铺砌定理”。只要经过顶点，无论怎么剪切，它的展开图都能平铺，这在正多面体中只有正四面体可以实现。

平行移动也不会重合的神奇图案

 前面我们介绍的平铺图案有一个共同点，即具有“平行移动整个图案会出现重合”的性质。例如，我们来思考长方形的平铺图案。将该图案整体向上下左右分别移动1个瓷砖大小时，应该会与原来的图案完全重合。

也就是说，该图案是由周期性图样不断重复而形成的。

然而，在平铺图案中，有些图案尽管有部分相似，但无论往哪个方向平行移动都不会完全重合。在这里，我们称这种图案为“非周期铺砌"。

下面我们来列举应用非周期铺砌的图案。在图A中，含有曲线、形状相同的瓷砖呈螺旋状排列。非常不可思议的是，这种瓷砖也可以无限铺满整个平面。图B是藤田伸的作品“鸟与鱼K-11”。以鸟和鱼为主题的图形，以某一个点为中心呈放射状排列。

图c是数学家、物理学家罗杰·彭罗斯爵士( Roger Penrose,1931-)于1972年思考出来的作品。彭罗斯发现，形状不同的两种菱形按照一定的法则摆放，无论怎么拼贴，都能够形成非周期铺砌。这一组菱形瓷砖被称为“彭罗斯瓷砖”。

像这样使用歪斜的图形或使用几个不同形状的瓷砖，可以画出在周期性重复图案中所看不到的独特图案。然而，在15世纪建成的中世纪伊斯兰建筑中，就已经发现了与彭罗斯瓷砖平铺形成的图案图样相同的装饰。拼瓷砖匠人追求美感，于是，他们早于数学家实现了非周期铺砌。

支持化学新发现的彭罗斯瓷砖，获得诺贝尔奖呢

彭罗斯瓷砖的平铺图案还可见于物质中的微观结构。固体物质要么是原子和分子按照周期性规则有序排列的“晶体”，要么是“非晶体”，在之前这是化学界的常识。例如，食盐(氯化钠)是氯原子和钠原子(离子)交错排列形成的结晶。玻璃主要是由硅和氧化合成的非品体物质。

1982年，以色列的化学家达尼埃尔·谢赫待曼( Danielle Shechtman,1941-)发现了颠覆该常识的事实。他通过对铝锰合金的观察发现，其原子并非按照周期性规则有序排列，而是像彭罗斯瓷砖平铺一样的结构。既不是晶体，也不是非晶体，而是以第三种“准晶体的状态存在，这个成果打破了当时的常识，当时受到了化学家们的激烈批判。

然而，当时彭罗斯已经证明了非周期铺砌是存在的。所以，彭罗斯瓷砖在理论上对准晶体的存在提供了支持。之后，人们逐渐发现了具有相似结构的物质，准晶体的存在也被广泛认可,2011年，谢赫特曼获得了诺贝尔化学奖。追求美感而发展起来的铺砌几何学，竟然意外地与化学联系在一起。

拼瓷砖的世界隐藏着无限的可能性，如果在不是平面的球面上平铺，就会完成上图中所示的有趣作品。拼瓷砖的世界存在无数的图案，还有许多未知的领域有待探索。就像有人发现了新型凸五边形平铺图案一样，大家也加入拼瓷砖的世界中去创新吧。

现在我们去看看美拼瓷砖吧。

,