初中几何最短垂线段（初中几何最值模型14）

几何最值是全国中考最热的模型考点，种类多，变换形式多样。也是历年中考压轴题目都涉及了线段最值的模型。姜姜老师利用空余时间进行汇总整编，力求最全最实用的模型知识。

垂线段最短是几何最值中非常重要的一部分，它的转换形式多变，灵活度很高，一直为中考热点，有的地方研究名称为（斜大于直）。初二历下期末考试最后一道压轴题目，第一问就是此模型。

我们都知道定理：垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）

C为AB直线外一点，那么C到直线AB的距离最小值即为C做AB的垂线，垂足为D，最小值为CD的长度

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是

基础模型

【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。

如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得

即BP的最小值是4.8。

【基础变式练习】

如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　

变式一【矩形转化（矩形对角线相等）】

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为　 　．

02 变式二【旋转转化（利用旋转全等）】

旋转转化（利用旋转全等）：如图，边长为2的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值为_________．

03 变式三【圆内转化（最小直径）】

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

04 变式四【圆内转化（勾股定理应用）】

如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为

（未完待续）

温馨提示

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——姜姜老师

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