蒙台梭利几何体阶梯示范（棱柱与基本几何体的组合）

作者 | 扬帆起航552来源 | 小谜题大世界

上期我们讲了三种基本几何体——棱锥、台塔和丸塔之间的组合，得到了10种约翰逊多面体。从这期开始我们讲棱柱与基本几何体的组合——首先是棱柱与棱锥的组合。

首先，我们知道，由正多边形构成的棱锥有三种，即等棱长的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥。它们的底面分别是正三角形、正方形、正五边形，而侧面都是正三角形。

其次，根据棱锥接在棱柱上面的位置的不同，有三种可能情况：第一种，接在棱柱的顶面（或底面）；第二种，接在棱柱的侧面；第三种，同时接在顶面（或底面）和侧面。下面我们分类讨论。

（一）接在顶面（或底面）

此时用来组合的棱柱有三种：正三棱柱、正四棱柱和正五棱柱。如果是相接的是棱锥的侧面，只需考虑两种情况：正三棱柱的顶面接正四棱锥，或正五棱锥（把正三棱锥的各个面都看成底面，暂不考虑）。用磁力片不难发现，得到的均是凹多面体。

也就是说，与棱柱相接的总是棱锥的底面。此时，如果只在棱柱上接一个棱锥，便得到正三棱锥柱、正四棱锥柱、正五棱锥柱；如果上下各接一个，便得到双三棱锥柱、双四棱锥柱、双五棱锥柱。

（二）接在侧面

等棱长的棱柱，侧面都是正方形，因此，能接的棱锥只能是正四棱锥。计算可知，正四棱锥的侧面与底面的夹角约为54.74°，因此棱柱的顶面的每个内角不能超过180°-54.74°=125.26°。

我们知道，正六边形的一个内角为120°，正七边形的一个内角为128.57°，也就是说与棱锥相接的棱柱最多为正六棱柱。

另外，对于正三棱柱而言，可以在两个相邻侧面各接上一个棱锥，因为60° 2×54.74°<180°；而对于正四棱柱则不行，因为90° 2×54.74°>180°；而正五棱柱及以上，显然更不行。

这样，我们便得到了所有棱锥接在棱柱侧面的9个结果，示意图如下：

① 侧锥三棱柱、二侧锥三棱柱、三侧锥三棱柱；

② 侧锥五棱柱、二侧锥五棱柱；

③ 侧锥六棱柱、双侧锥六棱柱、二侧锥六棱柱、三侧锥六棱柱

其中没有正四棱柱，是因为正四棱柱就是正方体，其侧面与顶面是一样的，所有可能的结构就是情况（一）中的正四角锥柱和双四角锥柱。

（三）同时接在顶面（或底面）和侧面

因为顶面和底面的位置是相同的，我们不妨先假设顶面和侧面都有。顶面可以接正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥，可以算得这三种棱锥的侧面与底面的夹角分别约为70.53°、54.74°和37.38°，而侧面只能接正四棱锥。如果用垂直于顶面和侧面的平面去截这个多面体，其截面会有一个内角至少为37.38° 90° 54.74°=182.12°>180°。而凸多面体要求任何一个平面去截它，截面都是凸多边形。

因此，这种情况是不能构成约翰逊多面体的。

至此，所有棱柱与棱锥相组合的情况都清晰了，一共15种，把它们罗列如下：

正三棱锥柱

正四棱锥柱

正五棱锥柱

双三棱锥柱

双四棱锥柱

双五棱锥柱

侧锥三棱柱

二侧锥三棱柱

三侧锥三棱柱

侧锥五棱柱

二侧锥五棱柱

侧锥六棱柱

双侧锥六棱柱

二侧锥六棱柱

三侧锥六棱柱

最后提个问题：一个正四棱锥的侧面接一个正三棱锥，结果有几个面？答案下期揭晓。

参考文献：

1. 约翰逊多面体. 北城百科网

   https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html

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