欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)

有的几何定理很好证明,但是,逆定理的证明却很难。把一个命题的条件和结论对调一下,就是逆命题。如果命题和逆命题都得到了证明,就成为定理了。

等腰三角形的两条底角平分线相等很好证明,但是反过来,逆定理的证明却很难。2000多年前,欧几里得在《几何原本》中就给出了这个定理的证明。逆定理,就是施泰纳-雷米欧司定理,有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形,是否成立呢?

欧几里得心知肚明逆定理是成立的,但是苦于无从下手,在《几何原本》里未能证明这个简单的几何事实,交了白卷。

到了2000年后,问题迎来转机。19世纪的数学家雷米欧司(Lehmus)特别指出这是一个看似简单但难以入手的难题。这个问题的提出,引起了瑞士著名几何学家施泰纳(Steiner)的强烈兴趣,他给出了第一个证明。后来,在100多年的时间里,人们对施泰纳-雷米欧司定理给出了上百种证法。

问题的缘起

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(1)

新概念几何63页截图

如图所示,已知△ABC是等腰三角形,证明两条底角平分线BP和CQ相等很容易。只需证明△APB和△AQC全等就行了。

但是,已知底角平分线BP和CQ相等,证明AB=AC就很难。利用新概念几何提供的解题工具——共角不等式(广义共角定理),可以得到一个简单的证明。具体细节请大家看下面的链接:https://m.toutiao.com/is/FKsKUrN/?=用面积关系解几何题:献给七年级学生的(最后一个)儿童节礼物 - 今日头条

链接里最后几张图是张景中先生的证明的抄录。

第一个证明

万事开头难,第一个证明是困难的,也体现了施泰纳的才华横溢。

1840年,数学家雷米欧司( Lehmus )发现命题:两内角平分线相等的三角形是等腰三角形。很难用纯几何方法证明,于是他写信给斯特姆( Sturm ),而斯特姆又将问题提供给一些数学家,第一个给出回答的是瑞士几何学家施泰纳( Steiner )。故人们将这个问题称为“施泰纳-雷米欧司定理”。

斯坦纳的第一个证法,通过几何旋转变换,而巧妙地推出结论。

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(2)

证1:如图1。设 BD 和 CE 为 △ABC 的角平分线,若∠ B ≠ ∠C ,不妨设 ∠B > ∠C ,则 ∠DBC > ∠ECB , ∠BDC > ∠BEC 。

∴ DC > EB ......(1)

又作△ E'BC≌ △ECB (即旋转变换),则

∠BDE'= ∠BE'D 、 ∠CDE' > ∠CE'D

∴ CD < CE'=EB ......(2)

(1)与(2)显然矛盾,反之 ∠B < ∠C 也不成立,故有∠B =/∠C . □

自定理提出,就引起欧州数学家的极大兴趣,从1840年至1855年期间,至少发现了15种证法,而且在1842、1844、1848、1854-1864年的各种杂志上,有许多文章涉及到这个问题。

显而易见,直接证法难度更大,于是人们又开始寻求定理简单的证法。大约于1940年前后,有人基于法国数学家仑巴菲特( Rebaffet )的引理“三角形中大角的平分线小些”,利用反证法,给出了一个较简单的证法。但美中不足的是引理的证法,如同定理一样困难。进入本世纪中期后,人们对定理的兴趣更加浓厚,在60年代的一篇综合报逍中,指出定理的证法已达60余种。到了80年代,定理波及到世界各地。

首先,被人们普遍认为最简单的证法,于1980年前后刊于加拿大的《难题》上,其

简炼的程度不仅使人惊叹:重要的是其证法,完全可拓广到非欧几何中的“施泰纳定理”。

意外的惊喜

这个定理肯定会被《数学名题词典》收录,于是想到查阅资料。结果不查不知道,查阅有惊喜,真是开卷有益啊!

在词典中,这个条目称为“施泰纳-莱默斯定理(Staeiner-Lehmus theorem)”。条目由张景中先生和涂荣豹联合撰写。

我们来看看词典提供的漂亮证明。下面的证明是两个英国工程师G.Gilbert和D.Macdonnell提出,发表于1963年《美国数学月刊》。

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(3)

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(4)

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(5)

通过查阅资料,不仅得到了漂亮的证明,还得到了计算三角形内角平分线的公式。这是一个意外的惊喜,得到的超过了你的期望。

除此之外,还有一个计算公式,请看下图:

欧几里得例题(欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理)(6)

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

祝大家端午安康![呲牙]

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