关于初二数学平行四边形证明题(构造平行四边形巧解证明题)
在解决平行四边形的问题时,有些题目直接证明可能比较困难,如果能借助平行四边形的基本性质(对边平行且相等、对角线互相平分、对角相等),添加适当的辅助线,巧妙地构造出新的平行四边形,那么就能达到化难为易的效果。
证明两条线段相等
例题1:如图,在△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,BE∥DF,BD∥EF,DF交AC于G.求证:AG=EG.
分析:本题可以通过一组对边平行且相等构造平行四边形。通过“BE∥DF,BD∥EF”可以证明四边形BEFD为平行四边形,点D为AB的中点,那么AD=BD,因此连接DE、AF可证明四边形ADFE是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分可得结论。当然,本题也可以证明△AGD≌△EGF。
证明:∵BE∥DF,BD∥EF,
∴四边形BEFD是平行四边形.
∴EF=BD.
∵D为AB的中点,
∴AD=BD,
∴EF=AD.
如图,连接DE,AF,
∵EF∥AD,
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴AG=EG.
证明两线段互相平分例题2:如图,在平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分.
分析:证明EF与GH互相平分,证明两个三角形全等不容易实现,可以连接HE、EG、FG、HF,证明四边形HEGF为平行四边形,平行四边形的对角线互相平分。而要证明平行四边形,可以通过证明△HAE≌△GCF、△HDF≌△GBE,得到HF=EG、HE=FG,两组对边相等的四边形为平行四边形。
证明:如图,连接HE,EG,GF,FH
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=CB.
∵BG=DH,
∴AH=CG.
又∵AE=CF,
∴△HAE≌△GCF,
∴HE=FG.
同理可证HF=EG.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
证明 两条线段平行
例题3:如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,过点O任作一直线分别交AB,CD于点G,H.求证:GF∥EH.
分析:要证明GF∥EH,可连接GE、FH,证明四边形GEHF为平行四边形,已经具备OE=OF,可再证明△AOG≌△COH得到OG=OH,对角线互相平分的四边形为平行四边形。根据平行四边形的性质即可得到对边平行。
证明:如图,连接GE,FH.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOG=∠COH,
∴△AOG≌△COH,
∴OG=OH.
∵E,F分别为OB,OD的中点,
∴OE=1/2OB=1/2OD=OF,
∴四边形EHFG是平行四边形.
∴GF∥EH.
证明线段和差关系例题4:如图,在四边形BCED中,DE∥BC,延长边BD,CE交于点A,在边BD上截取BF=AD,过点F作FG∥BC交EC于点G.求证:DE+FG=BC.
分析:证明DE+FG=BC可以利用截长补短法,本题通过一组对边平行且相等构造平行四边形,然后再证明一次三角形全等即可。
证明:如图,过点F作FM∥AC交BC于点M,
则四边形FMCG是平行四边形,∠BFM=∠A.
∵DE∥BC,∴∠EDA=∠B.
又BF=AD,
∴△BFM≌△DAE,
∴BM=DE.
∵四边形FMCG是平行四边形,
∴FG=MC,
∴DE+FG=BM+MC=BC.
通过构造平行四边形可以证明线段相等、线段互相平分、线段平行、线段的和差关系等,学会构造平行四边形也是我们需要掌握的一种技能。
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