连续和离散数据分析矩阵（使用格拉姆角场）

这篇文章将会详细介绍格拉姆角场 （Gramian Angular Field），并通过代码示例展示“如何将时间序列数据转换为图像”。

Gramian Angular Summation / Difference Fields (GASF / GADF)可以将时间序列转换成图像，这样我们就可以将卷积神经网络 (CNN) 用于时间序列数据

在开始介绍之前，我认为首先我们应该熟悉一下 GASF / GADF 的基本概念。 如果您已经知道，可以跳过本节。

笛卡尔坐标：笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates，法语：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系 。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。点（或其他几何形状）的位置由一个或多个数字确定。 例如，如果我们采用二维坐标系，则位置由一对数字确定，例如 (2,3)。 然后在距两条参考线（称为 x 轴和 y 轴）的距离上显示该位置。

极坐标：属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。想象一个以原点为中心的圆，它与点(2,3)相交。我们求这个圆的半径以及x轴与(0,0)和(2,3)连线的夹角。在极坐标中会被表示为（3.6，56.3），也就是说是一个距离极点3.6个单位和极轴夹角为56.3°的点

格拉姆矩阵：假设我们有一组向量V。格拉姆（Gram）矩阵是来自V的每一对向量的内积矩阵。如下图所示，矩阵中的每个元素< vi, vj> 是向量 vi 和 vj 之间的向量乘积。

以上图片和介绍来自维基和百度百科，以上就是基本概念的简单介绍，那么咱们开始进入正题。

现在我们将朝着这篇文章的主要目标前进，即理解在图像中表示时间序列的过程。 简而言之，可以通过以下三个步骤来理解该过程。

1. 通过取每个 M 点的平均值来聚合时间序列以减小大小。 此步骤使用分段聚合近似 ( Piecewise Aggregation Approximation / PAA)。
2. 区间[0,1]中的缩放值。
3. 通过将时间戳作为半径和缩放值的反余弦（arccosine）来生成极坐标。 这杨可以提供角度的值。
4. 生成GASF / GADF。 在这一步中，将每对值相加（相减），然后取余弦值后进行求和汇总。

语言描述可能不太准确，下面使用代码详细进行解释

我在这里提供了一个 Python 示例，以演示使用格拉姆角场将时间序列转换为图像的逐步过程的状态。

导入需要的包

from pyts.approximation import PiecewiseAggregateApproximation from pyts.preprocessing import MinMaxScaler import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

生成一些demo数据

X = [[1,2,3,4,5,6,7,8],[23,56,52,46,34,67,70,60]] plt.plot(X[0],X[1]) plt.title(‘Time series’) plt.xlabel(‘timestamp’) plt.ylabel(‘value’) plt.show()

分段聚合逼近和缩放

# PAA transformer = PiecewiseAggregateApproximation(window_size=2) result = transformer.transform(X) # Scaling in interval [0,1] scaler = MinMaxScaler() scaled_X = scaler.transform(result) plt.plot(scaled_X[0,:],scaled_X[1,:]) plt.title(‘After scaling’) plt.xlabel(‘timestamp’) plt.ylabel(‘value’) plt.show()

转换成极坐标

arccos_X = np.arccos(scaled_X[1,:]) fig, ax = plt.subplots(subplot_kw={‘projection’: ‘polar’}) ax.plot(result[0,:], arccos_X) ax.set_rmax(2) ax.set_rticks([0.5, 1, 1.5, 2]) # Less radial ticks ax.set_rlabel_position(-22.5) # Move radial labels away from plotted line ax.grid(True) ax.set_title(“Polar coordinates”, va=’bottom’) plt.show()

Gramian angular summation fields

field = [a b for a in arccos_X for b in arccos_X] gram = np.cos(field).reshape(-1,4) plt.imshow(gram)

上述步骤用于说明使用 Gramian Angular Summation / Difference Field 将时间序列转换为图像的过程。 在实际使用时中可以不需要计算极坐标，这是因为以下的三角函数规则：

为了在 Gramian Angular Field 计算中计算 Cos (A B)，我们将其扩展如下

因为我们通过取时间序列值的余弦倒数来计算 A 和 B（实际上是在 PAA 和缩放之后的值上）。其他的说明可以参考pyts库关于GramianAngularField的说明。

引用

1. Wang, Z., & Oates, T. (2015). Imaging time-series to improve classification and imputation. IJCAI International Joint Conference on Artificial Intelligence, 2015-January, 3939–3945.
2. Eamonn J Keogh and Michael J Paz- zani. Scaling up dynamic time warping for datamining applications. In Proceedings ofthe sixth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining, pages 285– 289. ACM, 2000.
3. pyts.readthedocs

作者：Pankaj Chejara