中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)

从大的时事新闻,近期美股熔断,油价暴跌,给我们带来什么影响?可以说牵一发动全局,业内人士测算,油价每下行10美元,中国企业和居民将节省开支1070亿元。以疫情下最为紧缺的医用口罩为例,其核心上游原材料聚丙烯将直接受益于油价下降,带动口罩原材料生产成本的降低。中国正面临一定的通胀压力,以及海外疫情局势的不确定性的影响,国际原油价格下跌有利于中国释放内部压力,为恢复经济发展赢得时机。

从小的方面,我们数学学习,更过地方也涉及到牵一发动全局的状况。如近几年各地中考试题中,双曲线与几何图形的综合问题,已然成为中考的热点题型之一,解决这类问题的关键是抓住问题中的关键"点"(双曲线与图形的交点),利用这个"点"在几何图形中的位置,牵一发动全局的观点,并结合几何图形的性质即可顺利解题。下面举例说明此类问题的解法.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(1)

经典考题

1.(2019•蚌埠二模)如图,直线y=﹣2x 2与x轴y轴分别相交于点A、B,四边形ABCD是正方形,曲线y=k/x在第一象限经过点D.则k=_____.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(2)

【分析】作DE⊥x轴,垂足为E,连OD.证出△BOA≌△AED,得到AE=BO,AO=DE,从而求出S△DOE,根据反比例函数k的几何意义,求出k的值.

【解答】:作DE⊥x轴,垂足为E,连OD.

∵∠DAE ∠BAO=90°,∠OBA ∠BAO=90°,∴∠DAE=∠OBA,

又∵∠BOA=∠AED,AB=DA,∴△BOA≌△AED(HL),∴OA=DE.

∵y=﹣2x 2,可知B(0,2),A(1,0),∴OA=DE=1,

∴OE=OA AE=1 2=3,

∴S△DOE=1/2•OE•DE=1/2×3×1=3/2,

∴k=3/2×2=3.故答案为:3.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(3)

3.(2018•鄂州一模)如图,一次函数y=ax b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=k/x的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列五个结论:

①△CEF与△DEF的面积相等; ②△AOB∽△FOE;

③△DCE≌△CDF;④AC=BD; ⑤tan∠BAO=a

其中正确的结论是_______.(把你认为正确结论的序号都填上)

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(4)

∴△CEF的面积=△DEF的面积,故①正确;

②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,

∴EF∥CD,∴FE∥AB,∴△AOB∽△FOE,故②正确;

③BD∥EF,DF∥BE,∴四边形BDFE是平行四边形,

∴BE=DF,而只有当a=1时,才有CE=BE,

即CE不一定等于DF,故△DCE≌△CDF不一定成立;故③错误;

④∵BD∥EF,DF∥BE,

∴四边形BDFE是平行四边形,∴BD=EF,

同理EF=AC,∴AC=BD,故④正确;

⑤由一次函数y=ax b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,

易得A(﹣b/a,0),B(0,b),则OA=b/a,OB=b,∴tan∠BAO=OB/OA=a,故⑤正确.

正确的有4个:①②④⑤.故答案为:①②④⑤.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(5)

4.(2020•龙泉驿区模拟)如图,一次函数y=kx b(k≠0)与反比例函数y=a/x(a≠0)的图象在第一象限交于A,B两点,A点的坐标为(m,6),B点的坐标为(2,3),连接OA,过B作BC⊥y轴,垂足为C.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2)在射线CB上是否存在一点D,使得△AOD是直角三角形,求出所有可能的D点坐标.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(6)

【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而确定出点A的坐标,再用待定系数法求出一次函数解析式;

(2)分两种情形分别讨论求解即可解决问题.

【解答】:(1)∵点B(2,3)在反比例函数y=a/x的图象上,

∴a=3×2=6,∴反比例函数的表达式为y=6/x,

∵点A的纵坐标为6,

∵点A在反比例函数y=6/x图象上,∴A(1,6),

∴2k b=3, k b=6,∴k=-3,b=9,

∴一次函数的表达式为y=﹣3x 9;

(2)如图,①当∠OD₁A=90°时,设BC与AO交于E,则E(1/2,3),

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(7)

∴AE=OE=D1E=√37/2,

∵E(1/2,3),∴D₁的坐标为(1/2 √37/2,3);

②当∠OAD₂=90°时,可得直线AD₂的解析式为:y=﹣1/6x 27/6,

当y=3时,x=19,∴D₂的坐标为(19,3),

综上所述,当△AOD是直角三角形,D点坐标为(1/2 √37/2,3)或(19,3)

5.(2019秋•顺德区期末)已知一次函数y=kx﹣(2k 1)的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=﹣(1 k)/x的图象分别交于C、D两点.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(8)

(1)如图1,当k=1,点P在线段AB上(不与点A、B重合)时,过点P作x轴和y轴的垂线,垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时,求出点P的位置;

(2)如图2,当k=1时,在x轴上是否存在点E,使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若某个等腰三角形的一条边长为5,另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标,求k的值.

【分析】本题是反比例函数综合题题,考查了反比例函数的性质,一次函数的性质,矩形的性质,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

【解答】:(1)当k=1,则一次函数解析式为:y=x﹣3,反比例函数解析式为:y=﹣2/x,

∵点P在线段AB上∴设点P(a,a﹣3),a>0,a﹣3<0,

∴PN=a,PM=3﹣a,

∵矩形OMPN的面积为2,∴a×(3﹣a)=2,∴a=1或2,

∴点P(1,﹣2)或(2,﹣1)

(2)∵一次函数y=x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点,

∴点A(3,0),点B(0,﹣3)

∴OA=3=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°,AB=3√2,

∵x﹣3=﹣2/x,∴x=1或2,

∴点C(1,﹣2),点D(2,﹣1)

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(9)

6.(2019秋•临海市期末)如图1,直线y=x与双曲线y=3/x交于A,B两点,根据中心对称性可以得知OA=OB.

(1)如图2,直线y=2x 1与双曲线y=3/x交于A,B两点,与坐标轴交点C,D两点,试证明:AC=BD;

(2)如图3,直线y=ax b与双曲线y=k/x交于A,B两点,与坐标轴交点C,D两点,试问:AC=BD还成立吗?

(3)如果直线y=x 3与双曲线y=k/x交于A,B两点,与坐标轴交点C,D两点,若DB DC≤5√2,求出k的取值范围.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(10)

【分析】本题考查反比例函数综合题,考查了反比例函数的性质,一次函数的性质,平行四边形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题,属于中考压轴题.

【解答】:(1)如图1中,作AE⊥x轴于E,BF⊥y轴于F,连接EF,AF,BE.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(11)

∵AE∥y轴,∴S△AOE=S△AEF=3/2,

∵BF∥x轴,∴S△BEF=S△OBF=3/2,∴S△AEF=S△BEF,∴AB∥EF,

∴四边形ACFE,四边形BDEF都是平行四边形,

∴AC=EF,BD=EF,∴AC=BD.

(2)如图1中,如图1中,作AE⊥x轴于E,BF⊥y轴于F,连接EF,AF,BE.

∵AE∥y轴,∴S△AOE=S△AEF=k/2,

∵BF∥x轴,∴S△BEF=S△OBF=k/2,

∴S△AEF=S△BEF,∴AB∥EF,

∴四边形ACFE,四边形BDEF都是平行四边形,

∴AC=EF,BD=EF,∴AC=BD.

(3)如图2中,

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(12)

∵直线y=x 3与坐标轴交于C,D,∴C(0,3),D(3,0),

∴OC=OD=3,CD=3√2,

∵CD BD≤5√2,∴BD≤2√2,

当BD=2√2时,∵∠CDO=45°,∴B(1,2),此时k=2,

观察图象可知,当k≤2时,CD BD≤5√2.

中考数学双动点函数图像压轴题(中考热点经)(13)

总结反思

以坐标系为桥梁,运用数形结合思想。纵观最近几年的压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。

图形与双曲线的综合题的重要组成部分是交点,这是惟一能沟通它们的要素,应用交点时应注意,交点既在图形上也在双曲线上,交点坐标既满足图形特征也满足双曲线的解析式.

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