三角形的面积比等于高的比吗（分得三角形面积比为1:2:3的点探究和拓展）

邓文忠（陕西省洋县黄安初中）

摘要：围绕一道分得三角形面积比为1:2:3的点的个数方面的竞赛题予以解析、探究、类比、拓展、联想，揭示解决此类问题的方法、规律．其间即有理论上严谨的推导，又有几何画板软件直观的验证，在解析和拓展探究中有着极为丰富且优美的结论，并从另一角度印证了四边形的“天然重心”问题，创新超越了原题的范畴．这样的探究、拓展很自然，对启发学生认识探究，理解探究及锤炼思维、创新思维，开阔视野，提高推理论\证能力大有裨益．

关键词：面积比；竞赛题解析；拓展探究；几何画板软件；平行六边形；天然重心

数学探究是新课改所倡导的重要的教学方式,让学生在探究中获得知识、发展能力,已成为数学教学的一种追求．本文通过对2014年一道“希望杯”竟赛题的解析、探究、类比、拓展，获得了意外的极为丰富且优美的结论，并从另一角度印证了四边形的“天然重心”问题，创新超越了原题的范畴．同时对学生认识探究，理解探究有着积极的启发，并能从中锤炼思维，获得美的感受．

竟赛题 （第25届“希望杯”全国数学邀请赛初三第2试试题）三角形内的一点和三角形三个顶点的连线将三角形分成三部分，若这三部分的面积比是1:2:3，则这样的点的个数是（ ）.

从图2中简化出图4，连接GH．

6所示；在图6中A，P1，P2，P3，P4五点共线，且直线AP4平分MN，GH，BC．

形．

探究1：三角形外分得三角形面积比为1:2:3的点存在吗？若存在，有几个？怎么作出这些点？

“梯形内部一点连接各顶点构造三角形四等分梯形面积是假命题”和 “梯形没有‘天然重心’，四边形也没有‘天然重心’”(注：若平面四边形内存在一点与四条边构成的四个三角形面积相等，那么这个点就称为四边形的“天然重心”)．

探究3：既然四边形内分得四边形面积比为1:2:3:4的点不一定存在，那么怎样作出符合要求的四边形及这样的点？

如图17～图23，假设△ABC固定，下面作出符合要求的点O及四边形ABCD．

作法：（1）在AC上取一点E、G，使AE:EC=1:4；AG:GC=2:3；

（2）在直线BE上任取一点O（不与点B，E重合），延长BO至点F，使BO:OF=1:2；

（3）过点F作FD∥OA；

（4）连接OG并延长交FD于点D，连接AD，DC，OB，OC．

同样地，可作出符合分得四边形面积比为1:1:1:1的点及四边形．

如图23，图24，BO平分AC，且BO=OD时，点O四等分四边形ABCD的面积．此时有两种图形：一般的四边形和平行四边形．这从另一角度印证了,结论：如果一个四边形有一条对角线平分另一条对角线，那么这条对角线的中点就是这个四边形的“天然重心”．

参考文献：

[1]邵潇野，苏斌.一道四等分梯形面积问题的探索和反思[J].中国数学教育(初中版)，2013（12）：28-30.

[2]朱丹，曹丽萍.“具有天然重心的四边形”的探索[J].数学教学，2009（9）：7-8.