周期函数的知识（51数学中你要当心的伪命题）

俗话说得好：种瓜得瓜，种豆得豆，这也正是自然界的遗传现象所在。然而生物的亲子代之间在性状上的相似性在数学学科里却不是普适的，如“周期函数加周期函数不一定是周期函数”这一命题就很好诠释这一点。

假设f(x)是周期为T的周期函数，那么f(x)的导函数

f′(x)=cosx πcos(πx)

也是周期为T的周期函数。此时有

cos0 πcos(π.0)=cosT πcos(π.T),

对比系数，只能有：

cosT=1,cos(π.T)=1,

进而T=2k1π,π.T=2k2π,

其中k1,k2均为非零整数。此时有π=k2/k1为有理数，矛盾。因此f(x)不是周期函数。

假设f(x)是周期为T的周期函数，在f(m)=f(m T)中，分别令m=0,1,2，

可得：

sinT sin(πT)=0,

sin(T 1)−sin(πT)=sin1,

sin(T 2) sin(πT)=sin2,

将第一个式子分别与第二个式子相加，与第三个式子相减，可得：

sin(T 1) sinT=sin1,

sin(T 2)−sinT=sin2,

和差化积，可得：

则有：T=2k1π,或 T=π−1 2k1π；T=2k2π,或 T=−2 2k2π

其中k1,k2∈Z。这样就得到了T=2kπ，k∈Z。代入sinT sin(πT)=0,

可得sin(2kπ2)=0，于是2kπ2=nπ

其中n∈Z．也即π=n/2k，与π是无理数矛盾，因此f(x)不是周期函数。

假设f(x)是周期为T的周期函数。对于f(x)的零点，令f(x)=0，

则可得:x=−π.x 2kπ,或 x=π π.x 2kπ

于是有：x=2kπ/(1 π),或 x=(2k 1)π/(1-π)

其中k∈Z,由于f(T)=f(0)=0

则有T=2nπ/(1 π)或T=(2n 1)π/(1-π)，其中n是∈Z。

不妨取x1=2π/(1 π)，x2=π/(1-π)

若T=2nπ/(1 π)，则x2 T=π/(1-π) 2nπ/(1 π),n≠0,

必然不在函数f(x)的零点构成的集合中；

同理：若T=(2n 1)π/(1-π)，则x1 T=2π/(1 π) (2n 1)π/(1-π),

也必然不在函数f(x)的零点构成的集合中。综上所述：原命题得证。

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