关于外接球的公式（外接球问题算个球）

什么是多面体的外接球，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球为多面体的外接球。

多面体的外接球问题，是立体几何的一个重点，也是高考考察的一个热点，当然这热点不是“重点”，而是难点！有多少优秀的孩子们被这个球弄得乱七八糟！

研究多面体的外接球问题，又要运用球的性质，要命的是还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用，接下来，我们通过几道例题来探讨这类问题的求解策略。

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直接法

长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对理解立体几何的关系问题起着重要的作用，尤其是在解决多面体外接球问题中。长方体的体对角线为长方体外接球的直径，正方体的体对角线为正方体的外接球的直径。

2、长方体的外接球问题

例2、一个长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为3、4、5，则此球的体积为。

解析：因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，再计算半径。

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构造法

由于正方体、长方体的外接球半径可以轻松求的，所以在遇见一类特殊几何体，通常是四面体，通常选择补形成正方体、长方体，进而通过求正方体、长方体的外接球的半径来求四面体的半径。

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（1）、正四面体

例3、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为。

解析：因为四面体的所有棱长都为2，所以放置正四面体S-ABC于正方体中（如图），由对称性可知，四面体的外接球就是正方体的外接球，所以正方体的体对角线正好为球的直径，因此，求正四面体外接球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。

（2）、等腰四面体

等腰四面体是对棱分别相等的四面体。

例4、三棱锥S-ABC中，其中SA=BC=3，SB=AC=4，SC=AB=5，求三棱锥S-ABC外接球的体积为。

解析：因为四面体的对棱相等，所以放置四面体S-ABC于长方体中（如图），由对称性可知，四面体的外接球就是长方体的外接球，所以长方体的体对角线正好为球的直径，因此，求四面体外接球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，再计算半径。

（3）、墙角四面体

墙角四面体即共顶点的三条棱两两垂直，或者有三个面两两垂直的三棱锥。

例5、三棱锥S-ABC中，其中SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，且SA=3，SB=4，SC=5，求三棱锥S-ABC外接球的表面积为。

解析：因为四面体的三条棱两两垂直，所以放置四面体S-ABC于长方体中（如图），由对称性可知，四面体的外接球就是长方体的外接球，所以长方体的体对角线正好为球的直径，因此，求四面体外接球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，再计算半径。

（4）、“鳖臑”型四面体

鳖臑即四个面都是直角三角形的四面体。

例6、三棱锥S-ABC中，其中SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，且SA=3，AB=4，BC=5，求三棱锥S-ABC外接球的表面积为。

解析：因为四面体的有线面垂直，所以放置四面体S-ABC于长方体中（如图），由对称性可知，四面体的外接球就是长方体的外接球，所以长方体的体对角线正好为球的直径，因此，求四面体外接球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，再计算半径。

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