裂项公式万能公式(连续整数积的裂项公式)

裂项公式万能公式(连续整数积的裂项公式)(1)

有关含“…”整数求和问题,往往需要将各加数分裂为两数的差,然后采用错位相加抵消法进行简便计算,此时就需要用到连续整数积的裂项公式。

(一)单独正整数n的裂项公式

由于n(n 1)-(n-1)n=n2 n-n2 n=2n,

所以n=[n(n 1)-(n-1)n]/2.

例如,计算:101 102 103 … 2019.

解:原式=[101×102-100×101 102×103-101×102

… 2019×2020-2018×2019]/2

=[-100×101 2019×2020]/2

=2034140.

(二)两个连续整数积n(n 1)的裂项公式

由于n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)

=n(n 1)[(n 2)-(n-1)]

=3n(n 1),

所以n(n 1)=[ n(n 1)(n 2)-(n-1)n(n 1)]/3.

例如,计算:1×2 2×3 3×4 …99×100。

解:原式=[1×2×3-0×1×2 2×3×4-1×2×3 3×4×5-2×3×4

… 99×100×101-98×99×100]/3

=[0 99×100×101]/3

=333300.

(三)三个连续整数积n(n 1)(n 2)的裂项公式

仿照(一)、(二)的推导可得:

(n 1)(n 2)(n 3)=[(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)-n(n 1)(n 2)(n 3)]/4;

(四)三个连续整数积(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)的裂项公式

(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

=[(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5)-n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5。

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