已知三角形中线长求面积(已知三角形三边)

已知三角形中线长求面积(已知三角形三边)(1)

三角形中线公式的推导

:如图,已知△ABC的三边为a,b,c,求中线AD、BE、CF的长。

已知三角形中线长求面积(已知三角形三边)(2)

分析:根据题意,题目中只有BD=DC=a/2这样的条件,要想用a,b,c的代数式表示出AD,必须添加辅助线,其中作高AE是最佳的选择。

:作△ABC的高AE。

因为AD是中线,所以BD=DC=a/2,设DE=x,则CE=a/2-x。

在Rt△ADE、Rt△ABE、Rt△ACE中,由勾股定理,得

AD^2=AE^2 DE^2,

因为AE^2=AB^2-BE^2=AC^2-CE^2,

所以2AE^2=AB^2-BE^2 AC^2-CE^2

=AB^2 AC^2-(BD DE)^2-(DC-DE)^2

=c^2 b^2-(a/2 x)^2-(a/2 x)^2

= b^2 c^2-a^2/4-ax-x^2-a^2/4 ax-x^2

= b^2 c^2-a^2/2-2x^2

所以2AD^2=2AE^2 2DE^2

= b^2 c^2-a^2/2-2x^2 2x^2

= b^2 c^2-a^2/2,

所以AD^2=( b^2 c^2-a^2/2)/2,

所以AD=1/2√[2(b^2 c^2)-a^2].

同理,BE=1/2√[2(c^2 a^2)-b^2].

CF= 1/2√[2(a^2 b^2)-c^2].

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