狄利克雷函数详细解释(狄利克雷函数及其性质)
狄利克雷简介
狄利克雷
狄利克雷(1805-1859),一生辉煌,师出名门,曾经是数学王子高斯的弟子,后就任于柏林大学,1831年被选为普鲁士科学院院士,并与1855年接替师傅高斯,成为哥延根大学的教授。狄利克雷在数论,分析学和数学物理等多领域做出过杰出贡献,当然最经典的莫过于狄利克雷函数。
狄利克雷函数
狄利克雷函数
从我们之前学习过的初等函数(幂指对函数、三角函数)等可知,函数具有一些优良的性质,比如是平滑且连续的曲线。虽然有些函数有不可求导的点,但是这些点一定是有限的。
但是,狄利克雷不这么想。他在1837年提出这样的想法:“怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,只要在某区间上的每一个确定的x值,y都有确定的值,那么y叫做x的函数”,顺便提出了上面的狄利克雷函数,这个函数不可连续,且不可求导。
狄利克雷函数的性质- 函数的值域是{1,0}
- 函数是偶函数,满足f(-x)=f(x)
- 函数是周期函数,满足f(x a)=f(x),a为有理数,但是不存在最小正周期
- 函数不是单调函数
- 图像上不存在四个点,可以构成正方形
- 图像上存在三个点,可以构成三角形
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