二阶常系数齐次差分方程的通解（一般形式的复实）

考研#数学分析&高等数学#关于一般复系数的三次方程的根的分布情况讨论的结论

#引言：对于标准形式的复系数一元三次方程ax^3 bx^2 cx d = 0（其中a≠0），它求根通解区别于标准形式的实系数一元三次方程（以前讲解过它的两种通常解法：卡尔丹诺公式和盛金定理，这里不再赘述。），有时可以参照卡尔丹诺公式和盛金定理，但有时不能严格使用。我们在解标准形式的一般一元三次方程时，同时为了书写方便，限于篇幅，以下参数如何推导详细可见B站“复系数标准形式一元三次方程的求解”内容（阅读时稍有点负责，主要原因是利用4个复系数化为线性方程组——四元一次方程组），引入四个相关复数域参数u、v、m、n（它们均与三次方程的复系数a、b、c、d相关），具体可以表达为：u = （9•abc - 27•a^2•d - 2•b^3）/（54•a^3）， 而复数域参数 v = 【3（4a•c^3 - b^2•c^2 -18•abcd 27•a^2•d^2 4d•b^3）】^（1/3）/（18•a^2），同时当复数域参数u和v满足如下关系时，另两复数域参数m、n的值分别表述为：① 当 | u v | ≥ | u - v |（其中符号“| … |”表示两复数和差的模，下面同）时，m = ³√（u v），② 当 | u v | ＜ | u - v | 时，m = ³√（u - v），③ 当 | m | ≠ 0 时，n = （b^2 -3•ac）/（9•am），④ 当 | m | = 0 时，n = 0；复平面坐标系单位圆上与实轴正半轴交点为起始点）逆时针方向三等分点（即模长为1，幅角为2π/3的复常数，也可理解为起始点原点、终点在2π/3方向上的单位向量）对应复常数 ω = cos 2π/3 i • sin 2π/3 = -1/2 i •√3/2，ω^2 = cos 4π/3 i • sin 4π/3 = -1/2 - i • √3/2，ω^3 = 1且满足 ω ω^2 ω^3 = 0；于是原标准形式的一般复系数一元三次方程的复数域根为：x1 = m n - b/（3•a），x2 = ω•m ω^2•n - b/（3•a），x3 = ω^2•m ω•n - b/（3•a）。显然满足根与系数的关系表达式：x1 x2 x3 = - b/a。

而对于一般的一元三次方程 a•x^3 b•x^2 c•x d = 0（其中a≠0），通过代数变量置换（换元令 x = z - b/（3•a）），原一元三次方程总可以消去二次项，变为等价方程 z^3 p•z q = 0，通过待定系数法易知，上述方程中 p = （3•ac - b^2）/（3•a^2），q = （27d•a^2 - 9•abc 2•b^3）/（27•a^3），这样可以解出关于 z 的三次方程必有三复根z1、z2、z3，进而根据 x = z - b/（3•a）得到x1、x2、x3，注意：当一元三次方程判别式 Δ = q^2/4 p^3/27，Δ＞0时，方程有1个实根两个复根；Δ = 0时，有 3 个实根，特别地当 p = q = 0 时，有一个三重零根，p，q ≠ 0时，三个实根中有2个相等；Δ＜0时，方程有 3 个不等实根，用三角形式可表示为：x1 =2•³√r •cos θ，x2 = 2•³√r • cos （θ 2π/3 ），x3 = 2•³√r • cos （θ 4π/3 ），其中 r = √（- p^3/27），θ = （1/3）• arccos 【- q/（2r）】。类似于二次方程的韦达定理，则关于 x 的三次方程的 3 个复根与原一般形式方程系数关系为：x1 x2 x3 = - b/a，1/x1 1/x2 1/x3 = - d/c 或者为x1•x2 x2•x3 x3•x1 = c/a，x1•x2•x3 = - d/a 。

#据上述引言内容：在实分析中关于复数的有理函数定理，一般形式复系数三次方程： 考察三次方程 z^3 3H•z G = 0，其中H、G均为复数，如果假设给定：该方程有（1）一个实根，（b）一个纯虚根，（c）一对共轭复根。这里不妨假设 H = λ μ • i，G = ρ σ • i 于是我们可以得到下面结论：（a）一个实根的条件 若 μ ≠ 0，则实根为 - σ /（3μ），且满足 σ^3 27λμ^2 -27ρμ^3 = 0，若 μ = 0，则必有 σ = 0，故方程的系数为实数，这种情况可能有三个实根；（b）一个纯虚根的条件 若 μ ≠ 0，则纯虚根为 ρ•i/（3μ），且有 ρ^3 - 27λμ^2•ρ - 27μ^3•σ = 0，若 μ = 0，则ρ = 0，且其根为 y•i，其中 y 值由方程 y^3 - 3λ•y - σ = 0 赋予，此时方程的系数为实数，在这种情况下， 方程可能有三个纯虚根；（c）一对共轭复根的条件 设其共轭复根为 x ± y•i，显然可知方程 3 根和为零，从而由根与系数关系推出第三根一定是 -2x，进而再次推出：y^2 - 3x^2 = 3H，2x（x^2 y^2）= G（根与系数关系），此时 H、G 必为实数方满足条件。

以上每一种情况，我们都能求出一根，用一个已知因式相除（或者叫长除法），将三次方程转化为简单的二次方程，或者能将方程的求解转化为相对简单的实系数三次方程（引言内容有叙述推导，通常可适用卡尔丹诺公式或盛金定理求解。）

附注：在以前讲解标准形式的一元三次方程求解时，曾详细介绍过“卡尔丹诺公式”和中国“盛金定理”，如有异议或疑惑，可以单独沟通讲解。