力的分析经典例题（力的三角形法则的应用）

一、三角形法则

两个分矢量首尾相接，剩余的尾首相连的有向线段就是合矢量，它恰与两分矢量的线段构成一个三角形，这个方法称为三角形法则，它是平行四边形法则的简化。

通过力的平移组成三角形

左图受两个力，右图受三个力

二、力的封闭三角形法则使用须知

（1）使用封闭三角形法则求解平衡问题，其前提条件是：

①物体必须受力平衡或动态平衡

②物体必须仅受到三个力的作用

（2）受到四个力（或更多的力)，也是能够用三角形法则来解题的，使用的方法是：

①恒力合并法

恒力合并之后仍然是恒力，类似等效重力，例如：静电力和重力合并成等效重力；晒衣服问题中重力和风力合并成等效重力等。

②滑动摩擦力和弹力合并(全反力法)

滑动摩擦力和弹力成正比，把滑动摩擦力和弹力合并后称为全反力，全反力是方向不变(方向取决于动摩擦因数μ)，大小变化的一个半变力。

全反力方向固定，α为摩擦角

这样四个力的问题简化为三个力，也能够借助于三角形法则来求解。

（3）封闭三角形法在应用的时候，主要是来分析物体的某个力的大小变化、两个力方向夹角变化、求某个力的极值的问题，遇到类似的受力分析，要有意识地优先选择力的封闭三角形法则，有的用正交分解更方便。

（4）用三角形法则解题，要首先画出确定力(如重力)，再画待定力，受到的力要首尾顺次连接起来。

三、应用典例

例：把一个力分解为两个力F₁和F₂，已知合力F＝40 N，分力F₁与合力F的夹角为30°。若F₂取某一数值，可使F₁有两个大小不同的数值，则F₂的取值范围是？

例：如图所示，

将力F（大小已知）分解为两个分力F₁和F₂，F₂和F的夹角θ小于90°，则下列说法正确的是（BD)

A.当F₁＞Fsinθ时，肯定有两组解

B.当F＞F₁＞Fsinθ时，肯定有两组解

C.当F₁＜Fsinθ时，有唯一一组解

D.当F₁＜Fsinθ时，无解

例：如图所示，

把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，设球对墙的压力为FN₁，球对板的压力为FN₂，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是（B）

A.FN₁和FN₂都增大

B.FN₁和FN₂都减小

C.FN₁增大，FN₂减小

D.FN₁减小，FN₂增大

例：如图所示，

小球作细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当绳子从水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将（D）

A、逐渐增大

B、逐渐减小

C、先增大，后减小

D、先减小，后增大

例：如图所示，

一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A.为使细绳与竖直方向的夹角为30°绷紧，小球A处于静止状态，则需对小球施加的最小力等于mg/2。

例：如图所示，

AO、BO、CO三段绳子连接于O点，保持θ不变，将B点向上移，则BO绳的拉力将(C)

A.逐渐减小

B.逐渐增大

C.先减小后增大

D.先增大后减小

例：如图所示，

一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一个光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力先减小后增大。

例：如图所示，

用绝缘轻质细线悬吊一质量为m、电荷为q的小球.在空间施加一匀强电场，当小球保持静止时，细线与竖直方向成θ角，则所加匀强电场的电场强度的最小值为mgsinθ/q。

例：如图所示，

质量为m的小球，用一细线悬挂在点O处，现用一大小恒定的外力F（F＜mg）慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线的最大偏角是多少？

arcsin(F/G)

例:如图所示，在《验证力的平行四边形定则》实验中，用A、B两只弹簧秤把橡皮条上的结点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角∠AOB小于90°，现保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置O，就应调整弹簧秤B的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是（）

A.增大B的拉力，增大β角

B.增大B的拉力，β角不变

C.增大B的拉力，减小β角

D.B的拉力大小不变，增大β角

例:如图所示，

物体G用两根绳子悬挂，开始时绳0A水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，始终保持a角大小不变，且物体始终静止，设绳OA的拉力为T₁，绳OB的拉力为T₂，则在此旋转过程中（）

A.T₁先减小后增大

B.T₂先增大后减小

C.T₂逐渐减小

D.T₂最终变为零

辅助圆法

例：已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值是多少？mgsinθ/q。

例：如图所示，小球在拉力F的作用下沿光滑球面缓慢地从A滑到球面的顶点B，在这一过程中，则球面对小球的弹力N和绳子的拉力T的变化情况如何？

☞此题用相似三角形更简便。

例：如图所示，

一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速直线运动，已知这个最小拉力大小为6N，g＝10m/s²，则物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ的取值各是多少？

例：如图所示，

若要使放置在倾角θ＝15°的斜面上、质量为m的箱子沿斜面匀速上滑，求拉力F的最小值.已知箱子与斜面间的动摩擦因数μ＝tan30°，重力加速度为g.

例：(动力态)如图所示，

物体静止于光滑水平面M上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO′方向做匀加速运动（F和OO′都在M平面内），那么必须同时再加一个力F，这个力的最小值为（C）

A. Ftanθ

B. Fcosθ

C. Fsinθ

D. F/sinθ

【解析】虽然是动力态，但是仅受两个力作用，合力和两个分力构成封闭三角形。

例：如图所示，

晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦均忽略不计，衣服处于静止状态，如果保持绳子A端、B端在杆上位置不变，将右侧杆平移到虚线位置，稳定后衣服仍处于静止状态，则（D）

A.B端移到B₁位置，且杆位置不变时，绳子张力不变

B.B端移到B₂位置，且杆位置不变时，绳子张力变小

CB端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大

D.B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小

【解析】虽然结点受三个力作用，但绳子的两个拉力在变化，用封闭三角形法反而不方便，用正交分解可以轻易求解，参考晒衣服模型。

例：如图所示，

晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根等高的竖直杆上，绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦均忽略不计。原来衣服竖直静止，一阵风吹来，衣服受到水平向右的恒力而发生滑动，并在新的位置保持静止。则相比原来，在新的位置时（C）

A.挂钩左右两边绳的拉力不再相等

B绳的拉力一定不变

C绳对挂钩作用力变大

D绳对挂钩作用力不变

虽然通过恒力合并之后成为三个力，但是绳子的两个拉力在变化，用封闭三角形法反而不方便，用正交分解可以轻易求解。

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