自然数基本运算（算术公理系统之）

把零星散落的代数和算术公理汇集到一起，抟成一粒数的种子，赋予它生命力，用理性浇灌，用智慧滋养，它会迅速生长，顺应天道伦常，最先长出来的必定是自然数，那我们一起来看看自然数是怎么长出来的：

1＝11＋1＝22＋1＝33＋1＝44＋1＝5…＝…

首先明确在定义自然数之前，0、1和∞是三个原始数，由公理给出，一开始就有的，不需要再讨论，只管使用。从1开始，1是已知，“＋”是已知，反复对前一个数做“＋1”运算可以不断得出新的数。根据有序公理1＞0，等身公理x＝x，可知1＋1＞1，即对于任意一个这样的数n，“＋1”所得到的新数n＋1，皆不同于原来的数n，并且n＋1＞n，于是我们对这些不同的新数分别进行命名：

1是1；1＋1的结果称为2；2＋1的结果称为3；3＋1的结果称为4；4＋1的结果称为5；……

1由公理得到，2由1得到，3由2得到，4由3得到，5由4得到，…，每个新数都基于前一个数递推而得，只要最开始的1没问题，加法“＋”没问题，然后令“＋1”运算进行∞次，便得到∞个新数，只要数∞也没问题，这无穷个新数必然全都没问题，它们共同遵循一个简单而严密的递推链条，只要第一个数立起来，后面所有的数都立起来，犹如一列反向的多米诺骨牌。我们将其统称为自然数，于是确定且唯一的自然数就从未知领域脱身而出变为已知。

这种定义方式称为自然数的算术定义或者加法定义。千万注意，自然数有无穷多个是已知的，无须证明，因为数∞由算术公理已然给定，拿来用便是，我们在定义自然数时一并将自然数定义为无穷个。若是没有数∞概念，如何定义或者说明自然数有无穷多个都成为一件难事，但西方数学从来就没有，他们想出了另一个概念——“后继”。

那数∞本身是不是自然数?∞不是自然数，自然数的本质属性是对于任意一个自然数n，都有n＋1＞n，而∞＋1＝∞，所以∞不能归为自然数。1归为自然数肯定没问题，那0可不可以归为自然数呢?可以的，因为0＋1＞0，自然数究竟从1开始还是从0开始，看具体情况，如果是讨论历史上数字的发展历程，自然数从1开始比较切合史实；如果是建构数字的演绎理论，自然数从0开始似乎也有它的道理。这里取前者，将所有自然数按先后顺序排列即得：

1，2，3，4，5，…1＜2＜3＜4＜5＜…

第一列是自然数的基数形式，第二列是自然数的序数形式，基数与序数不是两个数，而是一个数，是同一个数的不同表现，基数表现数的大小，寓于运算；序数表现数的先后，见诸序列。可以说自然数是我们一个个算出来的，也可以说是我们排列出来的。大小有别、前后有序的前提是有序公理，1＞0，这一条简单到不值一提，但没有这一条数的大小和先后就出不来。1＋1＝2，我们凭什么认为2＞1，而不是1＞2，就因为1＞0，两边＋1，必然是2＞1。相信很多人小时候可能都问过父母或者老师，为什么1＋1＝2呢?严格来说没有原因，只是按照运算规则1＋1一定不等于原来的1，是比1大的一个新数，人们共同约定将这个新数叫作2，如此而已。

定义自然数的过程是一个由已知推导未知的过程，在此应当确立一条基本原则，对什么是有效的推导、什么是无效的推导做出适当区分：由已知推导已知、由已知推导未知是有效的推导；反之，由未知推导未知、由未知推导已知是无效的推导。这种区分有助于我们判定结论的可靠性。

由已知推导已知，最经典的案例是逻辑学的基本规律同一律，A是A（A→A），前一个A为前提，后一个A为结论，由A推导出A，这个结论颠扑不破、万古不枯；1是1，2是2，搁哪都千真万确。但是这样的推导不能给我们带来新知，要想获得新知我们必须由已知推导未知。1是已知，“＋”是已知，那么1＋1＝2，则是一个由已知推导未知的过程，2在我们知道0、1和∞之前，我们是不知道的，它属于未知。此过程中的前提、以及由前提推导结论的方法确切可知，从而保证结论也确切可知，2即是我们基于已知经由逻辑推导收获的新知。1＋1＝?，遵循同样的规则，无论是谁在何种时代，都必然得出一致的结果，这种一致性正是数学所追求的永恒之魅力所在。

自然数是人类最先认知并熟练掌握的一列数，缘其简单，简单到聪明的鸟儿都能区分123，更别说人了，几乎生来就会。随着人们发现和使用的数越来越多、越来越丰富，人群中那些对数字敏感并抱以好奇心的人自然会想自然会问数是怎么来的。定义自然数就是试图从理论上回答自然数是怎么来的，前面的推导已经回答，基于三个已知数0、1和∞，经由统一的方法“＋1”，重复任意次得到任意个自然数，重复无穷次得到无穷个自然数，无穷多的自然数意味着所有的自然数。一个定义而不是一个一个枚举，使我们将无穷无尽的所有的自然数收入囊中，可见理性力量的强大。

自然数是基于0、1和∞之后产生的，0、1和∞是原始数，自然数则是生成数。由此可以说自然数是人创造的，不是上帝创造的，上帝只需要创造三个原始数0、1和∞，其他数都是人造物。如果非要说自然数是上帝创造的，则有不尊重他老人家智商之嫌。试想上帝是全知全能全善的，全知，他知道创造世界的所有知识，如果说创造世界有多种方式，那么他也应该是全智的，有足够的智慧选择其中最简单一种方式创造世界。

定义自然数可以有多种方法，基于算术公理，通过加法运算定义自然数只是其中的一种，为了加深对自然数的理解，我们有必要了解其他的论述或者方法，比如早期的阿拉伯数学家花拉子米在《算法》（约公元830年）一书中给出的直观性描述：

另外，“一”是任何数的根源，所以它跟其他的数不同。它之所以是数的根源，是因为任何数都由它来定义。它之所以跟其他的数不同，是因为它是由它自己，即无任何数的情况下独立确定。而其他的任何数不可能不用“一”来定义。因为当你说出“一”时，它不需要任何数来定义自己，而其他数则需要“一”，于是，在没有“一”的前提下，你说不出“二”或“三”，因此这些“一”的和不是其他的东西而是数，所以当我们在没有“一”的前提下，说不出“二”或“三”，这不是关于语言，而是对于事情的本质而言。如果你去掉“一”，则“二”或“三”也不可能存在。然而“一”在没有第二或第三时也同样存在。这样二是二倍或一的二倍，而不是别的。同样，三也不是别的东西，它是一的三倍，对于其他数码同样用类似的方法递推。

这段文字平铺直述，意思很明白，古希腊的毕达哥拉斯认为“万物皆数”，花拉子米则更进一步，试图对数追本溯源，并认为“众数归一”。虽说数字0跟随印度数字先到阿拉伯，再由阿拉伯传播到世界各地，但数字0传到阿拉伯只被当作一个标记空位的符号，不认为它是单独的一个数，所以花拉子米只会说，“一”是任何数的根源，其中的“任何数”肯定不包括0。“一”是原始数，其他任何数都是在“一”的基础上产生，这个没问题，但是产生的方式有问题，他用的是乘法而不是加法，“一是一”，“二是一的二倍”，“三是一的三倍”，明显的同语反复，这个不可取。

再比如晚近的皮亚诺算术公理系统，19世纪末，意大利数学家皮亚诺以三个不加定义的原始概念：自然数、0和后继，以及五条公理来定义自然数，这五条公理分别是：

（1）0是一个自然数；（2）任何自然数都有一个后继数，后继数都是自然数；（3）0不是任何自然数的后继数；（4）不同的自然数有不同的后继数，具有相同后继数的自然数相同；（5）任何属于0的性质，如果也属于每个具有该性质的自然数的后继数，便属于所有自然数。

就本性而言，不管以何种方式来刻画自然数都应当揭示其三个方面的性质：一、自然数有无穷多个；二、在这无穷多的自然数中，有一个最小数，没有最大数；三、对于任意一个自然数n，都存在另一个自然数n＋1，并且n＋1＞n。对照这三点，我们来看皮亚诺的三个概念和五条公理。

首先，自然数有无穷多个，这一条隐含在“后继”概念之中，“后继”以及“后继数”是理解皮亚诺算术公理系统的关键所在。皮氏公理第二条“任何自然数都有一个后继数，后继数都是自然数”，它的意思是说“任何自然数的后面必然跟着另一个自然数”，0是第一个自然数，0后面必然跟着另一个自然数，我们心照不宣一致默认它是1。1后面跟着2，2后面跟着3，…，一个跟一个，一个跟一个，继而跟出所有的自然数，只要我们能够一致想象“一个跟一个”的状态没有完结，就可以认为所有的自然数有无穷多个，无疑这里的无穷是潜无穷。

在不知无穷为数，没有数∞的情况下，人们当然不会想到使用∞来生成∞个自然数，只能借助“后继”这样的概念，通过规定每个自然数都必有一个后继数的巧妙办法来实现无穷个自然数，巧妙归巧妙，但不算高明，不过是亚里士多德潜无穷观念落实到数学中的一个具体应用而已，这样的应用稍作留意还会发现很多。

如此一来，第二个问题也顺带解决了，自然数之中，有一个最小数0，没有最大数，遵循“后继”的方法，我们得不出最大自然数，得到的都是N，按照第二条公理，N之后必然还是一个自然数。

看到这，是不是觉得“后继”概念太给力了，一下解决两个问题。其实不然，反倒可以说成也“后继”，败也“后继”，“后继”本身是一个非常宽泛的概念，经不起深究，一个跟一个，一个数后面跟怎样的一个数呢?没有限定和说明，欲跟出自然数，必然要求人们一致想象一个数的“后继”，是而且只能是该数加1所得的结果，即N之后是N＋1。当人们的想象出现不一致，干嘛非得加1，如果加2呢?得出的则是偶数：0，2，4，6，8，…，不是全体自然数。

如果加0呢?得出的则是：0，0，0，0，…。

由于有第三条公理“0不是任何自然数的后继数”，所以全是0的情况不会出现，而且它还能排除有限几个数，首尾相连，依次相继，构成死循环的情况。例如0、1、2、3四个数，0的后继为1，1的后继为2，2的后继为3，倘若3的后继为0，则构成一个死循环，产生不了新数，这种情况不会发生。再者，第四条公理“不同的自然数有不同的后继数”，可以保证得出的所有自然数两两相异，各不相同。这两条合在一起，但凡第一个数是0，第二个数不是0，那么此后产生的所有数都将不同，于是可以认为经由“后继”方法所得到的是无穷个不同的数。

如果减1呢?得出的则是：0，－1，－2，－3，…，这些仍然是无穷个不同的数，但变成有最大数，没有最小数，仍然不符合人们心里预期的自然数，于是我们还得为这套公理系统增加一条隐含假设，即后继数必然大于前数。即便退一步，不追究这些细枝末节的问题，按照默认设置就是加1，那么1从哪里来?它是自然数吗?翻来覆去看五条公理，没有哪一条说到1呀，公理不给定，我们怎么能说有就有、说用就用呢。凡此种种都在说明“后继”不是一个好概念，也不是一个好方法，通过它不能确切唯一地得到自然数。

再来看第三条，对于任意一个自然数n，都存在另一个自然数n＋1，并且n＋1＞n。这一条通过算数公理很容易证明：由等身公理n＝n，可知n＋1一定不等于n；再则，有序公理1＞0，两边加n必然有n＋1＞n，只要n≠∞，则n＋1＞n恒成立。

皮亚诺并没有对此进行直接证明，而是给出了一个证明框架，即他的第五公理：任何属于0的性质，如果也属于每个具有该性质的自然数的后继数，便属于所有自然数，通常称为数学归纳法。具体来说，如果P是一个性质，并且0具有性质P，当任意一个自然数n具有性质P时，如果n的后继数也具有性质P，则断言所有自然数都具有性质P。

数学归纳法在数学中有着广泛的应用，它之所以有效，不是因为数学，而是取决于逻辑。从“一个自然数n”推出“所有自然数”，是从特称判断的前提推出全称判断的结论，从特称到全称，这是“归纳”的由来；而这里的“一个自然数n”必须是任意的，也就是说符号n可以指称“所有自然数”中的任何一个，对任意的“一个自然数n”作出判断怎么就等同于对“所有自然数”作出判断，任意特称判断怎么就等同于全称判断呢?不知道，如果一时找不到原因，我们就将它作为公理接受下来，只要这条公理没问题，那么数学归纳法在自然数范围内便总是有效。

具体运用到自然数本身，设若0的后继数大于0，对于任意一个自然数n都大于其前面一个数，如果n的后继数也大于n，则断言所有自然数的后继数都大于该数。将自然数n的后继数设定为n＋1，就可以在数学归纳法的框架中证明“对于任意一个自然数n，都存在另一个自然数n＋1，并且n＋1＞n”。

我们知道“数是可以运算的符号”，这已经是对数非常抽象地概括了，而皮亚诺则更进一步，将“运算”也拿掉，只剩下符号，然后引入“后继”概念，“后继”本质上描述的是一种位置关系，因此皮亚诺所理解和定义的“数”，其实是一种只有位置关系而没有运算、只有先后顺序而没有大小关系的符号。按照这个思路，皮亚诺算术公理所刻画的“自然数”，应该是这个样子：

A、A'、A''、A'''、…

准确地说，这不是一列数，而是一列标记位置的符号，这些符号可以理解为标记不同空间的地址，一个地址通往一个不同的空间，至于这些空间中具体放置什么，它是不关心的，可以随便放，比如：

0、1、2、3、4、5、…这是我们最想看到的，也可以是：2、4、6、8、10、12、…当然也可以放置：牛、鬼、蛇、神、巫、蛊、…

这说明什么?说明皮亚诺算术公理系统，与我们通常理解的自然数无关，通常理解的自然数必须先于或者在另一个与之平行的公理系统中存在，然后才有可能被放置到皮亚诺公理系统的地址空间中，让皮亚诺公理系统呈现出“自然数”的样子。也就是说，皮亚诺公理系统能够定义出自然数这件事，不是逻辑推演必然得出的结果，而是我们一厢情愿脑补的结果。同样道理，在“后继”概念的基础上，定义出所谓的加法和乘法，减法和除法，并在这些运算的基础上，定义出自然数、整数、有理数，乃至实数，其实都是在沙地上建造海市蜃楼。对此英国数学家罗素早有定论：

如果我们采用这个计划，我们的定理证明将不是针对叫作“自然数”的一个确定的项的集合，而是针对具有某种性质的所有的项的集合。这样的一个程序不是谬误的；确实对于某些目的来说，它代表着一种有价值的概括。但是从两种观点来看，它没有为算术给出一个合适的基础。第一点，它并不使我们能够知道是否存在证实皮亚诺公理的任何项集合；它甚至没有给出对于发现是否存在这样的集合的任何方式的最微弱的暗示。第二点，如已看到的，我们希望我们的数是能用来对普通对象计数的，这就要求我们的数应该具有一个确定的意义，而不仅仅要求它们应该具有某些形式性质。

基于算数公理定义自然数，用到的数是1，用到的运算是“＋”，一个数和一个运算就能演绎出多姿多彩无穷无尽的自然数，惊叹之余，应当明白数的本质在于运算，数与数的运算是一对不可分割的概念，两者必须在公理层面上同时运行，数的种子才能生根发芽、枝繁叶茂。理解皮亚诺公理系统不能离开这个本质，理解其他的算术公理系统亦是如此。