奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(1)

一条直线方程(点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程、参数方程、极坐标方程)是同学们非常熟知的高中数学重要知识点之一,在一般的考试中考生都能应对自如。但是一堆直线(直线系)方程,不一定被每个高中学生都熟知,并灵活应用。

下面,系统性地介绍常见的直线系方程(结构、含义、来历,特征)与应用,深刻体会直线系在数学解题中的巧妙、快捷,并对比得出直线一般方程求解的繁琐。

理论体系

(1)平行直线系:与一条已知直线平行的所有直线

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(2)

(2)垂直直线系:与一条已知直线垂直的所有直线

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(3)

(3)过点直线系:经过已知两条直线交点的所有直线

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(4)

妙解试题

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(5)

(非直线系常规解)先计算出两条直线的交点,再根据两直线平行求出斜率,然后写出点斜式方程。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(6)

(过点线系巧妙解)先假设一堆过两条直线交点的直线系(引入待定参数),再根据两条直线平行,斜率相等求出参数,然后把参数代入,并化简得出直线一般式方程,最后检验舍去的直线是否符合题意。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(7)

(平行线系巧妙解)先假设一堆平行直线系(引入待定参数),在将求得的两条直线交点代入其中,得到参数具体取值,然后把参数代入,并化简得出直线一般式方程。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(8)

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(9)

(过点线系快速解)先由过点直线系(整理方程)得出含参直线过定点,再计算出两点距离,然后由几何图形得出最大距离。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(10)

(非直线系麻烦解)先由点线距离公式得出函数解析式(由参数得出定义域),然后计算出函数的最值(判别式法),即最小距离。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(11)

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(12)

(过点线系快速解)先由过点直线系(整理方程)得出含参直线各种过的定点,再计算出两点距离,然后由几何图形得出最大距离。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(13)

(非直线系麻烦解)先由平行线距离公式得出函数解析式(由参数得出定义域),然后计算出函数的最值(判别式法),即最小距离。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(14)

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(15)

(非直线系麻烦解)先计算出两条直线的交点坐标(用参数分别表示),再根据交点在第一象限得出参数的不等式组,然后求解不等式组得出参数取值范围。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(16)

(过点线系快速解)先利用过点直线系求出含参直线所过的定点坐标,再直线系与线段相交求出斜率取值范围。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(17)

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(18)

(非直线系麻烦解)利用分类讨论(当心直线无斜率)的方法讨论直线的位置关系,然后由直线不过第二象限得出直线斜率的取值范围。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(19)

(过点线系快速解)先由含参直线过定点(过点直线系)求出定点坐标,再考虑直线的位置关系(不过第二象限),然后求出直线斜率的取值范围。

奇思妙想可能性(奇思妙想直线系)(20)

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