卡方分布和t分布的概率密度推导（卡方分布密度函数的推导思路）

图1

其概率密度函数为：

图2

要证明上述结论，首先要求出平方函数的概率密度：

图3

的概率密度。

由此可以求出y>=0是的概率密度函数（用f(x)表示）：

图4

再要求出和函数的密度函数：

若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X Y 的概率密度.

图5

图6

有了上述基础之后，我们就知道如何推导卡方分布的密度函数了，那就是把图1中的统计量看作是Y=Y1 Y2 ......，其中Yi=Xi^2,而Y的密度函数已知如图4所示。

但真正的证明还是比较复杂，因为将Y的密度函数代入图5图6 之后，其计算是很复杂的。

Miller, Steven J.在《The Probability Lifesaver: All the Tools You Need to Understand

Chance - 2017》一书的CHAPTER 16 The Chi-square Distribution给出了完整的证明。

我们如果不是专门做这方面的研究，那就只要知道图2中的密度函数大概怎么来的就行了。

最后给出卡方分布的曲线：