a4 速写本（变形速写本）

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

艺术和自然的变形

可以说，所有的艺术都是变形，要么是艺术家头脑中的一个概念，要么是一种装置或技术。丢勒是一个用几何概念探索变换的艺术家的典型例子。他这样做并不奇怪，因为他既是一名数学家也是一名艺术家，并且为艺术家写了一本几何技巧的书[2]。他最有趣的想法之一是用网格来改变面孔，这也是我很多作品的灵感来源。

图1：丢勒的头

皮耶罗-德拉-弗朗西斯卡的Prospettiva Pingendi也包含了对头像的研究。我利用皮耶罗和杜勒的头像，在头像上使用标准和 "艺术性 "修改的方法，探索了广泛的数学技术。有许多常见的数学变换，如旋转和反射，我会想当然地认为，但下面是一个旋转皮耶罗的一个头像的轮廓的例子。

图2：轮廓旋转

科学和艺术并不像斯诺让我们相信他的“两种文化”演讲那样孤立。生物学家D‘Arcy Wentworth Thompson[3]发展了丢勒的想法，利用非线性网格研究各种生物形态之间的关系。他的作品在许多二十世纪艺术家的图书馆中找到[4]。

如果没有最常见的数学变换，即透视将三维世界变成二维，艺术将会差得多。透视网格一直是艺术家们常用的工具。我对一种特殊形式的视角——变形——的兴趣，本身就是一个主题。在[5]中，我已经描述了这种网格的不正确使用及其引起的问题。我不会在这里深入这个主题，只是要指出，第一本关于创造它的技巧的书是由艺术家兼数学家弗朗索瓦·尼科隆写的，他是梅森的学生[13和14]。

图3中的例子展示了一个简单的主题如何通过使用网格简单地转化成各种各样的设计。对于数学教学来说，这是引入函数、数列等诸多数学关系的绝佳方式。它也适用于非数学艺术家。

图3，主题的网格变换

在所有的转换中都使用相同的主题。这个图案是图3中第二行的第一个对象，是通过使用连接其上方规则间隔网格的交点的直线创建的。然后变换栅格，并通过连接变换的栅格的相应交点来创建新版本。因此，这不是一个平滑的变换，因为改变后的图案由一系列线段组成。这使得创建栅格后可以轻松、快速地手动绘制。第一行右侧的两个正交栅格是对栅格间距应用正弦变换的结果。它们下面的第二行显示了由此产生的主题变化。第三行左侧的网格(如下所示)是通过使用2，3“4，5，6，7，8和9个单位的划分沿每边的间隔创建的。圆形网格使用带有多组同心圆弧的放射线。在第三行的中心网格中，径向线从与圆弧不同心的点发出。在右边的一个网格中使用了两个象限。在[5]中可以找到更多的可能性，但即使是这里的少数几个也显示了这种方法的丰富程度。

二元性和两极分化

射影几何的数学起源于透视的研究。这个基础是由德沙格奠定的，他关于透视三角形的著名定理是透视构造的核心。不幸的是，首先，他不得不创造一个没有人理解的全新词汇，其次，费马和笛卡尔将几何变成了代数，直到19世纪初，它才再次蓬勃发展。随着二元性和两极的概念，一个全新的世界打开了。射影几何时好时坏，虽然它在计算机图形学中被广泛用于操纵透视，但它本身似乎并没有被用作目的。也许这是因为点到线的转换和线到点的转换需要计算机在合理的时间内给出准确的结果。点和线之间的对偶概念是一个合乎逻辑的概念，但实际上它可以通过使用圆锥曲线和使用极和极结构来实现。对偶性和极性(有时称为互易)在射影几何的书籍中有描述(文献[11]对一般读者有明确的描述)。极点和极点的结构如图4所示，并在下一页对程序进行了说明。它适用于任何二次曲线，而不仅仅是所示的椭圆。我倾向于在艺术变换中使用圆圈，因为它是对称的。

图4：极点和极线的结构

求点X的极坐标

1. 任意两条经X的直线(a和b)与二次曲线相交于实点。

2. 使这两条直线和二次曲线相交于点P, Q (a)和R, S (b)。

3.画出p q r s在p q r s处的切线。

4. 相交于p q在A和rs在B。

5. 连接A和B，得到极线x。

求直线x的极点

1. 在直线x上任意选择两点A和B它们与二次曲线有实切线。

2. 从p, q(从A点)和r, s(从B点)画出一对切线。

3.画出P Q R S的切点。

4. 在直线a上连接点P Q和在直线b上连接点R S。

4. 使a和b相交，得到极点X。

如图5所示，即使是一个简单的圆中曲线的极化，也可以产生美学上优于其起源曲线的形式。这是一个简单的相对于圆极化的玫瑰曲线。

图5：玫瑰曲线的极化

另一个没有通过二元性/极化探索的领域是分形。图6用一个以分形中心为圆心的圆显示了冯·科赫雪花的两级极化。由于圆和分形的对称性，在这种情况下，无论圆的大小如何，结果都是一样的(除了比例)。标签识别相应的极点和极线。要了解正在发生的事情，请记住下面的例子，绕着原始曲线(A到L)移动。当你沿着AB线移动时，极坐标等价体旋转通过a和B之间的标记角度。当你旋转以在B点改变方向时，极坐标等价体沿着B线移动。

图6：科赫曲线的极化

通过改变极化的中心，或通过使用不同的极化二次曲线来产生破坏中心对称性的结果，这种变换为探索提供了许多可能性。我尝试过处理非数学曲线，但在寻找合适的形状方面并不太成功。字母形式流畅的曲线提供了有趣的可能性，我已经列出了探索整个字母表的清单。这是字母S，它呈现出非常立体的形状。

图7：字母S的极化

字母是Times Roman S的轮廓，放在右上方一个大圈的外面。

反演

圆反演是一种众所周知的点对点的变换。它通常是这样定义的(见图8):点P相对于圆(半径r，圆心0)是反的，从而得到点PI。使OP P在同一行，OP.OP = r2。另一个定义是P，是通过P的极坐标相对于圆然后将直线OP与极坐标线相交得到的。这是一个更广泛的定义，它扩展了各种可能性，因为直线可以从任何一点画出来，而任何圆锥曲线都可以用来代替圆。这就是所谓的二次变换。

图8：一个点的反演

最有趣的变换是当原始图像由直线组成时。倒位把线变成圆。Herman von Baravalle是第一个使用这些元素创建早期欧普艺术的人，如图9左侧的棋盘反演。对图3中的网格进行反求也会得到有趣的结果。图9的右侧显示了一个这样的网格(如图3的顶部一行)，它已经被转换成一个棋盘，并被倒置。

图9

反演还涉及到某些地图投影，例如球体在平面上的立体投影。Robert Dixon在[12]中展示了一些艺术作品。Robert Krawczyk也在生产弯曲螺旋体[15]时使用了倒置法。在本文的最后，我将描述我在艺术上使用迭代方法的反演工作。

“圆圈”

另一种类型的转变是以一种不同的方式思考；能够看到一些东西，而不是它是什么，而是它可能是什么。这一直是艺术家在社会中的一种功能。数学家并不总是能够处理这种发散思维。

将曲线视为点集(逐点)或线集(以直线为切线)的对偶概念可以扩展。许多曲线可以定义为其他曲线的包络，尤其是圆。当一个圆是用计算机画的时候，它实际上是画成一个有大量边的多边形。在极端情况下，它可以被粗略地绘制为一个简单的多边形，如三角形或正方形。因此，基于圆形包络线的设计可以立即转换为许多新设计，只需将每个圆形替换为一个多边形即可。结果是如此的不同，我经常很难说服人们这就是我所做的一切，所以也许“仅仅”这个词有点简单化了。因为圆关于其中心是无限对称的，而多边形不是，所以放置多边形的可能性很大，需要指定附加规则以确定多边形的方向。这些方法可能很简单，只需使所有的多边形指向相同的方向，要么平行于一个轴，要么指向一个点，或者可以根据规则改变多边形的旋转。

图10显示了一个例子。它从作为圆的包络的心形的构造开始，并将其转换成六边形版本。

1.第一张图(左上)显示了圆包络的标准结构。画一个加粗的圆，并在上面放置一些等距的点。选择这些点中的一个作为基点(所有圆都经过同一点)。

2.以中心为粗体圆上的每个点，画一个半径为到基点的距离的圆。这些点的包络线是心形的。在这个图中，有12个这样的圆。

3.现在，如右上方的图所示，将一端放在基点上，通过将每个直径旋转固定的量(在本例中为12 °)来绘制这些圆的直径，从第一个(也是最小的)开始垂直旋转。请注意，为了使图表更清晰，这里没有显示这个小圆的初始线，因为有许多线穿过基点。

4.用这些线画六边形，使相对的顶点位于每条线上。左下方的图表中显示了一个示例。

5.如右下方的图表所示，完成每个圆圈。

图10：构造方法

图11中的示例将心形显示为使用不同多边形(具有3、4和6个边)的圆的包络，其中有一些变化。Herman von Baravalle在20世纪40年代的简单几何艺术中使用了圆形版本，使用了右边六边形版本中的阴影，这与图10中构建的版本相同，但使用了两倍多的六边形。

图11：多边形包络的示例

放置多边形的其他方法可能是将它们全部放置在同一方向，例如全部垂直或水平。此处显示的所有示例都有一个多边形顶点穿过基点。这不一定是这样的。除了这些艺术效果，我还将提出一个问题，这些设计的包络线可能是什么。图11中第二个设计(基于三角形)中的顶点的轨迹可能是一组三个圆。

鸣钟术和特鲁谢密铺

变换通常是直接的：拍摄一张图像并应用一个函数。·这并不总是合适的，还有其他变换。改变铃声[9，10]在声音上是一种变奏。正如多萝西·塞耶斯(Dorothy Sayers)[8]所说：“英国在世界上独一无二地完善了变革的艺术”，作为一个英国人，我可以看到它在视觉上的延伸。该组在显示为平铺时，使用平铺变体根据铃声的数量进行更改，可以用来直观地显示效果。有许多复杂的变化，听起来并不总是对不热心的钟形学家感兴趣，因为我可以证明，我曾住在一座教堂附近，那里练习了许多变体。

我确信这种方法已经被用来制作瓷砖图案，但是除非你四处寻找，或者偶然发现原始文件，否则当你看到一个设计时，你不可能知道它的起源。

用四个铃声进行简单的狩猎，交换两个外面的铃声，然后是中间的铃声，依此类推。在数值表中，左侧的完整结果在右侧被缩减，以显示单个钟的路径如何跟随一种正弦波。这在简单的着色平铺中更加明显。

很久以来，镶嵌一直被用来显示书写符号，特鲁谢1704年的论文[1]奠定了数学框架。特鲁谢的双色瓷砖显示在图12的顶部，上面的变化转换成下面的瓷砖。左边的单色拼贴基于如上所示的变化。改变瓷砖的颜色提供了更多的可能性。图12中的中心变化是识别第一个拼块的结果，右边的变化通过对第四个拼块进行同样的处理而更进一步。

图12：特鲁谢，更改平铺

使用更复杂的拼块，就会出现下面这样的图案。

图13：基于更改的拼块平铺

这使用一个主题，在两个序列中旋转，产生的变化作为三个条纹加在一起。这些变化发生在页面上。我故意没有展示主题，把它作为一个谜题留给读者。

重复变换和极限集

根据用于变换的函数，应用迭代变换可能不会产生新图像。例如，上述的反演和双重/极化变换是对合的(再次应用变换会回复到原始实体)。为了克服这一点，可以组合不同的变换。由于篇幅原因，下面的讨论主要限于反演。

如果有两个反演中心，当围绕两个圆连续迭代反演时，一个点产生一个圆。随着更多的反演循环，结果同样没有艺术趣味。但是，如果玩“混沌游戏”[7]，就像从三角形的三个顶点创造Sierpinski垫圈一样，那么一个全新的世界就打开了。这些图像中每个点的变换是随机选择的，例如反演发生在多个圆中的一个圆上，其半径和位置的变化决定了所产生的图像。产生的极限集是一大类几乎没有被研究过的图像。

图14显示了五个圆的反演极限集的结果，四个相等的圆以正方形的点为中心，另一个在正方形的中心但更大。

图14：平面反演极限集

这种技术也可以在三维空间中使用。球体中的反演与圆体中的反演相似。圆的反演。图15显示的是用一组半径相等的球体产生的反演极限集的立体对。半径的球体产生的立体对。七个球体在一个平面内围绕着一个中心球体，上面和下面还有一对。

图15：空间反演极限集的立体对

如图16和17所示，也可以以这种方式使用其他变换。

图16,17

在反演中(图8)，点P和PI被直线OP与圆相交的点调和地分开。图16是通过使用不同谐波除法的变换创建的。这一次，点P和PI被圆0的中心和线OP与P和PI之间的圆相交的点调和地分开。

反演可以被认为是一种关于圆的反射。图17使用了传统意义上的关于圆周长的反射，因此，在与图8等价的图中，P到圆的距离等于PI到圆的距离。

结论

几何变换为艺术家创造新形象提供了各种各样的可能性。这里展示的几个想法代表了使用这些技术进行创作的可能性，它们也暗示了其他只能在演示文稿或大型书籍中充分展示的途径。

参考文献

1. Cyril Stanley Smith, "The tiling patterns of Sebastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy", Leonardo 20 no 4, pp 373-385, 1987

2. Albrecht DUrer, "Unterweyysung der Messung ... ", translated by Walter Strauss as "The Painter's Manual" ...... .

3. D' Arcy Wentworth Thompson, "On Growth and Form", CUP 1961

4. Martin Kemp, "Spirals of life: D'Arcy Thompson and Theodore Cooke with Leonardo and Durer in retrospect", Physis 32 37-54, 1995

5. John Sharp, "Grid-Warps" part ofthe Explorer section of the UK Government's mathematical resource site at www • counton. ~rg.

6. John Sharp, "Problems with Holbein's Ambassadors and the Anamorphosis of the skull", Bridges Conference Proceedings 1998.

7. H 0 Peitgen, D Saupe, "The science offractal images" Springer 1988

8. Dorothy L Sayers, "The Nine Tailors"

9. Wilfred Wilson, "Change ringing, The art and science of change ringing on church and hand bells.",

Faber and Faber, London 1965

10. F J Budden, "The Fascination of Groups", Cambridge University Press, 1972, chapter 24

11. H S M Coxeter and S L Greitzer, "Geometry Revistetf', MAA 1967, chapter 6.

12. Robert Dixon, "Mathographics", Blackwell, Oxford 1987, reprinted by Dover

13. Jurgis Baltrusaitis, "Anamorphic Art', Chadwyck-Healey, Cambridge 1976

14. Jean-Francois Niceron "La Perspective curieuse" Paris 1638

15. Robert J. Krawczyk, "Curving Spirolaterals", Bridges Conference Proceedings 2001.

16 John Sharp, A Transformation Sketchbook

青山不改，绿水长流，在下告退。

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