线性代数中如何求解非线性方程组（趣味线性代数一）

许多同学学习线性代数这门课，都是从行列式开始的。半本教材学完了，还在懵逼中：这线性代数究竟讲的是啥？

不怪同学们不努力，只因教材有问题，行列式本身太过抽象，作为线性代数入门第一课实在有些不合适。

那么如何让线性代数这门课形象起来呢？让我们从一个最简单的二元一次方程组开始，由它的几何意义，切入线性代数这门课。

看下面的二元一次方程组：

答案一目了然，x=2，y=1。我们知道，求解一个二元一次方程组，除了代数运算外，用函数曲线的方法也可以，画图即可求解。

那么，我们把这个二元一次方程组变换一下形式：

在平面坐标系中（二维平面），画出两条函数曲线（当然很明显这是两条“直线”），如下图：

从图中可以看出，二元一次方程组的解，与两条函数直线的交点是等价的。

我们将这个结论拓展一下，从二元一次方程组拓展到三元一次、四元一次直至N元一次方程组。如果它们各自有解，就可以说，在三维、四维直至N维坐标系中，方程组中全部方程所代表的函数直线，在相应的坐标系内有唯一交点。

但是，问题来了，不管它们有没有解，一旦未知元数超过3个，图画不出来啊，谁也没见过四维空间长啥样不是？而且，方程组中的一个方程式并不只对应一条函数直线，也可能是无穷多条直线。

另外，求解N元一次方程组，代数运算更不现实，计算量得多大呀。

好啦，到这里，我们已经站在线性代数的起点上了，那就是如何处理上述函数直线的关系。

该如何处理呢？答案是------不处理！因为我们要重塑上述的函数图形。

在重塑上述的函数图形之前，我们先重塑上面的二元一次方程组，将其变成下面这样的形式：

把未知数X的系数单独择出来，它就形成了一个2X2的矩阵（行数与列数相等的也叫方阵）：

这个矩阵由两个二维向量（1，1）和（1，-1）组成。我们把它们当作平面坐标系中的两个坐标，再由原点出发，画出两条向量线段，如下图：

而未知数和等号右侧的结果，既是向量，也是矩阵：

我们也把它们当作坐标，画出相应的向量线段。当然，因为方程待解，所以解向量的线段暂时画不出来。

我们回头来看变形后的二元一次方程组：

等号左侧的部分，是由两个向量相乘得来的，也叫向量的内积。系数向量和解向量内积的结果，就是等号右侧的向量对应线段的端点坐标。

那么，求解这个二元一次方程组，就变成了一个画线游戏。根据上述的关系，给定三条向量线段，能不能画出第四条向量（解向量）线段？

答案是，我画不出来。为啥呢？因为解向量与给定向量的夹角是不知道的，求这两个夹角比解方程组难多了。

不过，没关系，我们有新发现。两条向量线段的夹角，有两种特殊情况，一个是0度，两条线段共线，一个是90度，两条线段垂直。

重点看一下夹角为90度的情况，比如（3，0）与（0，2），这一组向量的夹角为90度，而它们的内积为3*0 0*2=0，内积为零！

重要的事情说三遍啊，内积为零！内积为零！内积为零！

线性代数的大门就此开启了一道缝隙！

让我们再次回头看一下变形后的二元一次方程组：

再一次将它变形，变成下面的形式：

原来的系数矩阵就由2X2变成了2X3，我们把它称为增广矩阵：

然后，解向量变成了（x1，x2，-1），等号右侧变成了（0，0，0），坐标系由二维变成了三维。维度是增加了，但画线的难度却大大降低了。

重点来了。注意看，在最新形式的方程组中，向量的内积都是0！既然内积为0，那向量的夹角不就是90度吗？

于是，求解上述二元一次方程组，就变成新的画线游戏。在三维坐标系中，给定两条向量线段，画出另一条向量线段与给定的两条向量线段垂直（正交）。因为两线共面，在三维坐标系内，一定能画出一条直线过原点与这个平面垂直。

所求的向量线段，如下图：

这样一来，求解的方法就有了，把系数增广矩阵化成行最简形：

相当于方程组中的两两方程式通过加减法化简成最简单的形式，然后求解就可以了。

从上述内容，我们可以得出一个结论，对于多元一次方程来说，求解不是重点，分析它有没有解、有多少解，是不是非零解才是重点。那么，依照这个结论，线性代数的重点也不是解多元方程，而是分析多维空间里的若干向量之间的关系。

可以说，线性代数所研究的对象是非常形象的，只不过我们不是高维生物，高维空间的形象我们无法描绘，也无从想象，只能通过线性代数来做抽象表达。

而在上面的三维坐标图中，线性代数的几个重要概念：线性相关与线性无关，矩阵的秩与向量组的秩，方程组相容或不相容，都能找到其相应的几何含义。

给定若干向量线段，能否画出另一条向量线段与它们全都垂直（正交）？

能，对应线性相关；不能，对应线性无关。

如果不能，减掉几个维度和相应的向量线段后能不能？对应矩阵的秩和向量组的秩。

给定的向量线段，有没有投影共线的情况，对应方程组相容或不相容。

当然这些概念我们还没讲到，以上内容属于提前剧透，详细内容在后面的文章里我们再讲。

最后我们举一个方程组无解的例子，比如下面的方程组：

控制住啊，别笑。一眼就能看出它无解了是吧，那再看下面的方程组，它有没有解，能一眼看出来吗？

其实，第一个方程组是由第二个方程组化简来的（3式和2式分别减2倍和3倍的1式），两个方程组是等价的，研究哪个都一样。

把第一个方程组按增广矩阵的方式写出来，有：

其中的系数增广矩阵，化成行最简形：

如果按系数增广矩阵画向量线段，那向量（5，4，1）和向量（5，4，-1）在XOY平面上的投影是同一条线。而按其最简形画向量线段，其中一条变成了（0，0，-2），它跟Z轴的负半轴重合，如下图：

再看解向量（x1，x2，-1），它是斜穿Z=-1平面的。而与向量（0，0，-2）垂直的直线全都平行于Z=-1平面，所以向量（x1，x2，-1）不可能与向量（0，0，-2）垂直。因此，方程组无解。

对应到线性代数里，是系数矩阵的秩与系数增广矩阵的秩不相等，所以无解。

总结一下重点，记住向量的内积，它是线性代数的认知起点。所有的知识点都与向量内积的夹角有关，包括行列式。

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