高中数学直线方程解题方法（干货高中数学教你快速掌握几种求方程的思路）

今天分享一道题，题目是求解直线方程的，主要是想分享一种新的思路，希望能对各位同学有所启发：

第一小题很简单，直接设出 Q 点坐标，然后用两点之间的距离公式算出 QM，QN，由题目给出的比例关系，即可算出 C 的方程：

第二小题，我们可以采取数形结合的方法，由于A、B 在圆上，则三角形 OAB为等腰直角三角形，然后可以计算出 O 到直线的距离，再根据点到直线的距离公式，即可解出 k ，这种思路最简单，计算起来也相对方便。

我们还可以用解析几何方法，设出 A、B两点的坐标，然后根据垂直关系得到，两点横纵坐标相乘相加为零。再然后，联立直线和圆的方程，根据韦达定理可以用 k 表示出两横坐标的积和两横坐标的和，并用它表示纵坐标之积，然后代入到上述约束中解出 k 的值，这种思路也是比较常见的，略微比前一种麻烦一点，但是当 C 为圆锥曲线时，第一种思路便不好解，而第二种是更加普遍的思路，适用范围更广，所以这种方式也是需要掌握的。

第三小题，我们同样可以根据几何关系得到这四点之间的约束（共圆，以OP为直径），这样我们能很快算出圆心坐标和半径从而得到圆的方程，而 C D 是两个圆的交点，通过两个圆方程作差，即可得到我们要的直线方程。

我们着重讲一下第二种方法，这种方法特别新颖，计算量很小。我们设出 C、D、P 点的坐标，由于圆 O 的圆心在坐标原点，则切线方程可以很容易表示出来，和圆方程长的很像（想一想怎么来的，欢迎评论区留言），而且这两个切线方程的形式一致，而 P 点又同时在两个方程上，我们发现基本无需计算就可以将过 CD 的直线表示出来（这一步也很新颖）。

当然，我们也可以设出 P 点坐标，然后根据圆与过 P 点的直线相切，得到 PC 和 PD 的方程和 C、 D 的坐标，最后得出 CD 的方程，但这样做起来就比较复杂了，感兴趣的可以做一下。

这道题看起来比较简单，但实际做的时候如果没找到合适的方法还是有点复杂的，第一小题很常规，相信绝大部分人很自然想到直接设坐标，用距离之比得出 C 的方程。第二小题由于曲线 C 是圆，而不是其他圆锥曲线，在距离的问题上，圆有着许多特殊的性质，有更多方便的方法来解决，所以用几何的方法往往比代数的方法更加简单，但是代数的方法更加一般化，对解决圆锥曲线这类问题更加常见，更程序化一点，思路比较固定，联立方程，消除变量，韦达定理表示，然后解出未知参数。

第三题如果用纯代数的方法比较麻烦，所以通过分析得到四点共圆，比较轻易的得到圆的方程，两个圆方程作差就能得到过 CD 的直线方程（其实这里和下面一种方法求直线有共通之处）。

第二种方法很新颖，几乎没有怎么计算就把直线方程求出来了，首先 C、 D 两点处的切线方程表示方法（不懂的同学可以留言讨论），在圆锥曲线上也可以效仿，其次，如果两个点的坐标满足同一个形式，则过这两点的直线上所有的点都满足这个形式，即直线方程就可以这么表示。