初中数学中等难度十字相乘法（初中数学59十字相乘法）

在上期节目中，我们介绍了因式分解的两种思路，提公因式法和套公式法，然而最后我们发现，总是有一类多项式，我们无法解决，它即不含公因式，又不能直接套用任何公式，那么这类题目我们应该怎么求解呢，本期我们就介绍二次三项式的一种常用解法，十字相乘法那么什么是二次三项式呢，这二次三项式呀，表示题目中的多项式有三个加减项，而且呢，这三项里边儿最高的次数是2，比方我们上次提到的x^2-10x 16，首先这是一个三项式，其次呢，它的最高次数就在第一项里面x的平方是2次的呀，所以它就是个二次三项式，那么这个多项式怎么分解呢？别着急，咱们还得再学一个新的公式：，今天小编就来聊一聊关于初中数学中等难度十字相乘法?接下来我们就一起去研究一下吧!

初中数学中等难度十字相乘法

在上期节目中，我们介绍了因式分解的两种思路，提公因式法和套公式法，然而最后我们发现，总是有一类多项式，我们无法解决，它即不含公因式，又不能直接套用任何公式，那么这类题目我们应该怎么求解呢，本期我们就介绍二次三项式的一种常用解法，十字相乘法。那么什么是二次三项式呢，这二次三项式呀，表示题目中的多项式有三个加减项，而且呢，这三项里边儿最高的次数是2，比方我们上次提到的x^2-10x 16，首先这是一个三项式，其次呢，它的最高次数就在第一项里面x的平方是2次的呀，所以它就是个二次三项式，那么这个多项式怎么分解呢？别着急，咱们还得再学一个新的公式：

(x m)(x n)如果我们把这个公式展开，它的结果会是什么呢？别着急咱们展开它看看，第一项x乘以第二项里的x得到x平方，然后第一项的x乘以第二项的n，得到xn；继续往下乘，第一项的m乘第一项的x，得到mx，然后是第一项的m乘以第二项的n，得到mn，看看能不能合并同类项呢？哎，这mx和xn可以合并，把x提取出来，剩下m n，这样我们就得到了最终结果：

(x m)(x n)=x^2 (m n)x mn

看到这个结果了吗？这就是一个标准的二次三项式啊，那它怎么进行因式分解呢？嗨，我们不是刚从(x m)(x n)把它展开的吗，因式分解完了肯定还是(x m)(x n)呀，这个题那是没问题呀，可是，当我们遇到实际问题的时候，这mn怎么可能那么就明显的摆在我们眼前呢？比方说这个x^2-10x 16吧，这就是个标准的二次三项式啊，如果我们把它跟x^2 (m n)x mn对照一下就会发现，其中的10对应的就是一次项系数m n，16呢对应的就是常数项mn，也就是说，我们只要找到有哪两个数儿相加等于10，相乘等于16，咱们就知道这个因式怎么分解了。找吧，好在呀，这个相加等于10的数字儿没几个，比方说4 6就等于10，但是4*6=24，它不等于16呀，所以肯定不是他俩，那3 7也等于10，但是3*7=21，也是不等于16的，接着往下试试，2 8=10，哎这回巧了2 8也等于16。所以呀，这个多项式分解开来就是(x 2)(x 8)，对不对呢？肯定对呀，不信你往公式里套呀，这m=2,n=8，你说这一次项系数m n是不是等于10呢，常数项mn是不是等于16呢，肯定对呀，因为咱们就是从这俩数儿这里碰来的嘛。哎，这种分解因式的办法就叫做十字相乘法，它是根据一次项系数和常数项系数这俩数字儿相碰得到的结果。

咱们再试一个啊，说这个x^2 4x-5怎么分解因式呀？这里一次项系数是4，常数项是-5，注意了啊，这里的常数项不是5，而是-5，那么，咱们就得找出俩数来，这俩书加起来等于4，乘起来等于-5，这4等于那俩数相加呢？1和3呀，可是这1和3相乘它不等于-5呀？那2跟2呢？2跟2相加倒是等于4，但是他们相乘也不等于-5呀，那么是不是它没法用十字相乘分解呢？哎，这头儿找不到呀，咱们在碰那一头儿，咱看看，那俩数相乘等于-5呢？-1和5，那么-1和5相加等于4吗？等，哎，这回就对了，所以它分解因式以后就是(x-1)(x 5)。

怎么样，这个十字相乘不是太难吧，可是我们总觉得多少有点儿瞎蒙的意思，如果这个数儿挺大了，我怎么知道那俩数相加和相乘能碰对了呀，比方说：x^2 60x 779，来，你来说说？那俩数儿相加等于60，相乘等于779呢？这俩数字儿这么老大，在这么瞎蒙就不行了吧。那怎么办，我呀，再教大家一个办法，我们不就是想找出mn来吗，这m n=60，mn=779 对不对，其实呀，我可以假设m n=2p，那么p就是mn的中间数儿了，咱们可以就可以继续假设m=p q，n=p-q，这样它俩相加还是2p，那么，如果我把这个pq求出来了，是不是等于mn也求出来了呢？大家看出来了没有，这p是现成儿的呀，因为m n=60，所以呢，这p就是30，那么q是多少呢？我们在看看mn的乘积，因为m=p q，n=p-q，所以mn的乘积就等于(p q)(p-q)=p^2-q^2=30的平方-q的平方，也就是900-q方，但这个mn的积也是现成儿的呀，它等于539呀，也就是说900-q方=779，q的平方等于900-779=121。什么的平方是121呀？11的平方，所以q=11，p我们知道，等于30呀，那么mn是多少呢？一个是30 11=41，另一个是30-11=19，这样，我们就得到了最终的结果，原式=(x 41)(x 19)。

让我们重新回顾一下这个过程，在上面的这种方法中，我们结合使用了十字相乘法和平方差公式，它可以帮我们快速的找到mn的具体值。当遇到系数很大的时候，我们需要先找到一次项系数的一半儿p，把它作为mn的中点，然后用p方减去常数项系数，减完以后再开平方就得到了差值q，计算p -q就可以找到mn的具体值。不过，一般在题目中，一次项和常数项的系数都不会很大，通过试错的方法，也可以快速地找到答案。

总结一下，在本节节目中我们学习了十字相乘法，这是一种专门分解二次三项式的方法，解题是，我们只要把一次项系数看做两数之和，把常数项系数看做两数只积，反复试算就可以求得两个数的值，而后就可以让变量分别跟这个两个数相加相乘。虽然这种办法只能解决二次三项式的问题，但实际上，如果某些高次问题，通过化简可以变为二次式，也可以通过这种方法解决。比方说X^6 2X^3-8，虽然题目中是X的6次方和3次方，但显然二者之间的关系是平方关系。我们只要把X^3视为一个变量，同样可以通过十字相乘法解决问题，两数相加是2，相乘是-8，很容易想到这两个数是-2和4，那么我们就可以得到结果(x^3-2)(x^3 4)。

那么，十字相乘法是不是可以解决所有二次三项式的问题呢？仍然不是，不信呀咱们来看一下这个问题：x^2 10x 18，它分解因式是什么呢？按照这个十字相乘的规则，两数相加是10，两相乘是18，凑凑数吧，2*8=16,3*7=21,哎，这18上下够不着呀，不过看样子呀，这俩数好像是在2和3之间的一个数儿，那么这个问题究竟应该怎么解呢，哎，要明白这问题呀，咱们下回再说。