数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)

圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质。由于其图形的对称性和完美性,很多与圆有关的问题都可以运用圆的图形性质,利用数形结合求解。

而圆中的最值问题综合性较强,有一定难度,在中考为热点难点题型,经常出现,下我们就来总结一下这类问题的一般解法。

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(1)

​策略一:利用直径是圆中最大的弦

1.(2020秋•东台市期中)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE FH的最大值为(  )

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(2)

A.8 B.12 C.16 D.20

【解答】:连接OA、OB,如图所示:

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(3)

∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°,

∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形,

∵⊙O的半径为8,∴AB=OA=OB=8,

∵点E,F分别是AC、BC的中点,∴EF=1/2AB=4,

要求GE FH的最大值,即求GE FH EF(弦GH)的最大值,

∵当弦GH是圆的直径时,它的最大值为:8×2=16,

∴GE FH的最大值为:16﹣4=12.

故选:B.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(4)

​策略二:过圆内一点的弦中,与过该点的直径垂直的弦最短.

2.(2020秋•沭阳县期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k 4(k≠0)与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为_______.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(5)

【解析】:连接OB,

∵直线y=kx﹣3k 4必过点D(3,4),

∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,

∵点D的坐标是(3,4),

∴OD=​​=5,

∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),

∴圆的半径为13,∴OB=13,

∴BD=​​=12,

∴BC=2BD=24,

∴BC的长的最小值为24;

故答案为:24.

策略三:弓形上的点到弦的距离中,最大距离是该弧的中点到弦的距离(或者过圈心的一条垂线段).

3.(2011•南昌中考题)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2√3,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).

(1)求∠BAC的度数;

(2)求△ABC面积的最大值.

(参考数据:sin60°=√3/2,tan30°=√3/3.)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(6)

【解析】(1)连接OB、OC,作OE⊥BC于点E,由垂径定理可得出BE=EC=√3,在Rt△OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出∠BOE的度数,再由圆周角定理即可求解∠BAC=60°;

(2)因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(7)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(8)

策略四:如图,若点P不在OO上,射线OP交圆O于M,射线OP的反向延长线交OO于N,则点P到圆上各点中,PM的长最小,PN的长最大。

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(9)

4.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

(1)在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为_____-.

(2)在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为______.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(10)

【解析】:(1)如图1中,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(11)

∵AB是直径,∠ABC=30°,AB=4

∴∠ACB=90°,∠A=∠P=60°,AC=2,

∵CD⊥PC,

∴∠PCD=90°,CD=PC•tan60°,

∵PC的最小值=AC=2,PC的最大值为直径=4,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(12)

(2)如图2中,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(13)

∵在Rt△PCD中,∠PCD=90°,∠P=60°,

∴∠PDC=30°,

∴点D在以BC为弦的⊙O′(红弧线)上运动,

∴当A、O′、D共线时,AD的值最大.连接CO′、BO′.

∵∠BO′C=2∠CDB=60°,O′C=O′B,

∴△O′BC是等边三角形,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(14)

策略五:如下图,直线L与圆O相离,线段OP⊥L,垂足为P,交O0于点M,PO的延长线交圆O于点N,则圆O上各点到直线L的距离中,最小距离是PM的长,最大距离是PN的长.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(15)

5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.

(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为_______;

(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(16)

【解析】(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;

(2)∵△OAB为等腰直角三角形,

∴AB=√2OA=6√2,

∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,

过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(17)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(18)

策略六:直线L与半径为r的圆相离,圆心O到直线L的距离为d,点P为直线L上任意一点,PA与圆O相切于点A,则PA的最小值是​,此时∠OPA最大.

6.​如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3√2,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为______.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(19)

【解析】:连接OP、OQ.

∵PQ是⊙O的切线,

∴OQ⊥PQ;

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(20)

7.(2020秋•宜兴市期末)如图,在矩形ABCD中,CD是⊙O直径,E是BC的中点,P是直线AE上任意一点,AB=4,BC=6,PM、PN相切于点M、N,当∠MPN最大时,PM的长为______.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(21)

【分析】先判断出OP⊥AE时,∠MPN最大,判断出△ABE≌△GCE,求出CG=4,再用勾股定理求出AE=5,再判断出△ABE∽△GPO,求出OP,最后用勾股定理求解,即可得出结论.

【解答】:如图1,∵四边形ABCD是矩形,

∴CD=AB=4,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(22)

连接OP,OM,

∵PM,PN是⊙O的切线,

∴∠OPM=1/2∠MPN,

要∠MPN最大,则∠OPM最大,

∵PM是⊙O的切线,

∴∠OMP=90°,

在Rt△PMO中,OM=OD=1/2CD=2,

∴sin∠OPM=OM/OP=2/OP,

∴要∠OPM最大,则OP最短,

即OP⊥AE,

如图2,延长DC交直线AE于G,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(23)

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=90°=∠ECG,AB∥CD,

∴∠BAE=∠G,

∵点E是BC的中点,

∴BE=1/2BC=3,

∴△ABE≌△GCE(AAS),

∴CG=AB=4,

∵CD是⊙O的直径,

∴OC=1/2CD=2,

∴OG=OC CE=6,

在Rt△ABE中,AB=4,BE=3,

∴AE=5,

∵∠OPG=90°=∠B,∠G=∠BAE,

∴△ABE∽△GPO,

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(24)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(25)

策略七:弦与弦心距的关系:弦心距越大,弦越小;弦心距越小,弦越大。

弓形的弦与所对的圆周角的关系:圆周角越大,所对的弦越大。

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(26)

策略八:利用将军饮马模型

9.(2014•张家界中考题)如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA PC的最小值为______.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(27)

【分析】A、B两点关于MN对称,因而PA PC=PB PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA PC的最小,即BC的值就是PA PC的最小值

【解答】:连接OB,OC,作CH垂直AB于H.

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(28)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(29)

数学圆的最值问题解题方法(盘点圆的最值问题求解策略)(30)

不难发现,中考考题考的不是难度,而是思维。知识是载体,素养是目标。通过如此专题复习课中,我们除了要求学生掌握基本知识、基本技能之外,还需要学生掌握基本的数学思想,积累活动经验,因此我们需要一题多解、一题多变,并让学生注意一些比较相似的题目的区别与联系,避免就题讲题,让学生陷入题海战术。

因此,需要教师在课堂中与学生一起进行总结。构建完整的知识体系,务必灵活地运用知识解决实际问题。把复习的重点知识与解题的方法进行总结提升,让学生慢慢具备触类旁通、上下贯通的能力。

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