数学直接思维的训练和培养（学好数学的桎梏）

有的家长常常会苦恼：为什么孩子数学总是学不好？

这个问题其实很复杂，首先是标准问题，何谓“不好”，你定义的“不好”是什么标准？每个人的标准可能不一样，甚至不少家长认为孩子不好，其实没有标准，就是一种直觉。

然后，我们去探讨数学学不好的原因。而这也就是本文的主要内容。

人所共知，没有良好的学习态度，主观上不想学好，那谈什么都没用。至于兴趣，爱因斯坦的名言同样为大家所认可：兴趣是最好的老师。所这里让我先排除态度和兴趣问题。

在态度在线，不抗拒数学（因为要有兴趣真不容易）的前提下，为什么数学依然学不好？

“不好”的具体表现可能是以下两个完全相反的方面：

第一，极其粗心，低级错误非常频繁，说什么就是改不了。比如经常初算计算多个0少个0，拆（添）括号忘记变号，上一步正常下一步抄错数字，看漏题目条件等等乱七八糟的奇怪错误。

第二，做题慢效率低。可以是慢到7×9都要呆一下，100-30都要用竖式的那种。这类学生，差不多就是前面一类学生的反向存在，经常练习的，该做对的都能给你做对，但一上难度就蒙圈。

这两种表现是表象的，可见的，还有一个问题，一般家长可能说不上来，那就是缺乏联系性和想象力。

如果不追求竞赛或者升学加成，只要态度端正，认真听课，完成老师布置的作业，课内成绩可以很漂亮。但缺乏联系性和想象力会导致的问题，在初二开始将逐渐展现，随着数学知识的广度和深度增加，会愈发明显。

这时候，数学会出现一个叫做“压轴题”的玩意儿。压轴题就是拿来区分优秀学生和顶尖牛蛙的，它是带着使命出现在这个世界的。

压轴题当然不是一蹴而就的，平常不怎么接触，考试忽然会做，几乎不可能。因此，身处优秀班集体的学生会跑在前头，原因是老师讲得多，当然，找到合适的有针对性的课外辅导也可以起到部分作用。

但是，压轴题这玩意也不是讲得多就会，更不是谁都能会，它对学生学习能力的要求很高。缺乏联系性和想象力，无论多努力，都会遇到瓶颈。毕竟，这个世界终究是看能力大小而不是看努力的多少。

数学难题说白了就是变化多端，考点繁多，深度充足的。单一知识点不足以解决问题，解决一道数学难题需要“分析条件——思考考点——联系过往类似的题型——结合该题的特征”。

分析条件：这句话想让我干啥？

思考考点：我该用什么学过的东西来入手？

联系旧题：这些条件（包括图）的组合有没有和我以前做过的某道（类）题很相似？

结合本题：那道题是怎么解的，本题和那道题的区别（条件差异）是什么？

例如刚结束的2021年广州中考数学卷24题：

第（2）问的“最高处”，指向的是顶点纵坐标，于是配方或者公式求顶点；

第（3）问已知E、F两点，遂求一次函数解析式，“一个交点”指向联立方程求解或△=0，这都是分析条件和思考考点后应该得出的结论，应该拿到的分数。

涉及函数交点联立方程的做法，是固定思路，学生必定做过多次。而联立方程后的分类讨论，则是因为该题的特性，即EF是线段，要思考线段与直线在处理上的不同之处，这就是上面提到的要综合过往题目的“共性”与本题的“特性”。

事实上，很多学生在学习的时候，没有把新学知识和原有内容有意识地结合起来，部分老师可能也疏忽了这一点，缺乏引导，而是单独地教授新知识。

初中第一年，每一个章节都是在打基础，上图标红的六章书，都是在为日后的计算打下基础，他们共同构成了所有理科能力里面一个最重要的部分——运算能力。

同理，第四章《几何图形初步》以及第五章《相交线与平行线》是线和角的初步认识，是几何的开端，第七章《平面直角坐标系》是函数重要的前置知识。

这些内容，单独拿出来都不难，因此小学课内基础过关，学习态度认真的学生，普遍学得不错。虽然中考单独出题也不多，但你能说他它们不重要吗？

整式学不好，初二的因式分解、分式就会吃力，平面直角坐标系不过关，初二下学期起开启的函数之路必然不会顺畅，这条路除了包括初中的一次函数、二次函数和反比例函数，还包括高中的函数性质、基本初等函数、三角函数，乃至解析几何，圆锥曲线。

多思考新知识和旧知识之间的关联性，你就会发现，出现在高一课本上的一元二次不等式，其实不过是初中二次函数图像的变形，根本都算不上什么新知识。

多思考新题目和旧题目之间的关联性，你就会发现，每一道新题的某一部分都是自己以往见过的，旧瓶换新酒。

要知道，大考出题者也是很艰难的，知识也就那些，在不能超纲的前提下，如何把固有考点玩出新花样，也是挠破头的事情。

至于想象力，那更是现代人的稀缺资源。充足的想象力，能够在脑中构建起一幅一幅的图像，在函数问题，立体几何，解析几何里就会事半功倍。这一点，我国著名数学家华罗庚甚至曾为此赋过一首诗：

这两项能力的缺失，可能就是很多孩子数学桎梏的内因。但是，我们的教育却显得不够重视，甚至一直扼杀着学生的这两项能力。

过度的超前学习，硬塞的奥数知识，不理解原理却被要求背诵的公式，执着于“xx模型”的套路化解题，一些知名线上机构广告里常常宣扬的“xx个解题大招”……这些都是具体表现。

风清扬说过：“活学活使，只是第一步。要做到【出手无招，那才真是踏入了高手的境界】。金庸笔下武侠的最高境界，大概就是解题的最高境界。

但是我们毕竟要应对考试，记忆的重复训练依然是短期提高的最佳做法。既然是最高境界，能达到者也寥寥，不要说学生，老师也是如此，题目日新，老师也要不断精进。

但是我们日常可以有意识地尝试，每学习一个新知识，或是遇到新题目的时候，首先思考一下有哪些地方和我脑海中某个角落里的东西有点像，进而把它调取出来比对。这大概也是“带着脑子学习”的一种具体表现吧。