一讲一练数学实数有关概念（数学分析第一讲）

#数学分析# 第一章 实数集与函数

数学分析研究的是实数集上定义的函数，因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质。

第一讲 实数的基本性质1

• 记号与术语：

R：实数集

R ：正实数集

R-：负实数集

Q：有理数集

Z：整数集

N：自然数集

N ：正整数集

∀：任意

∃ ：存在

• 实数的十进制小数表示：

1.任何一个实数都可以用十进制小数表示。

若x属于R ，则x=a0.a1a2……an……

若x属于R- ，则x=-a0.a1a2……an……

其中，a0属于N，an属于{0,1，……9}，n=1,2……

约定 0=0.0000……

2.有限小数x=x=a0.a1a2……ak（ak不等于0），又可以表示为

x=a0.a1a2……a（k-1）（ak-1）99……

x=x=a0.a1a2……a（k-1）9.

若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的。

即，若x=a0.a1a2……an……，

y=b0.b1b2……bn……，

则x=y等价于an=bn，n=0，1,2……

用无限小数表示实数，称为正规表示。

3.Q={x|x=m/n，其中m,n属于Z，n不等于0}表示有理数集。

∀x属于Q，x可用循环十进制小数表示。

一般的，若x=m/n，则x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)，其中p<n。

p称为循环节

反之，若x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)

4.无理数为无限不循环小数。

• 实数的大小：

定义1，

∀x,y属于R ，若x=a0.a1a2……an……，y=b0.b1b2……bn……，是正规的十进制小数表示，规定x>y等价于a0>b0，

或∃ n属于N，使a0.a1a2……an=b0.b1b2……bn，而a（n 1）>b（n 1）

∀x,y属于R-，规定x>y等价于-x<-y，

∀x属于R ，y属于R-，规定y<0<x，

• 实数的大小关系有以下性质：

1.x>y，x=y，x<y 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立。

2.若x>y，y>z，则x>z，即大小关系具有传递性。

• 实数的四则运算：

有理数集Q对加减乘除（除数不为0）是封闭的；

封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是有理数。

实数集R对加减乘除（除数不为0）是封闭的。

封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是实数。

对于实数：

（1）∀x,y属于R，λ属于R，若x<y，则λx<λy。

（2）∀x1<x2，y1<y2，则x1 y2<x2 y2。