动点最值问题的常用解法（齐次化方法巧解一类斜率之和）

摘要：在将直线方程与圆锥曲线方程联立时，如果借助齐次化的思想方法，就可以得到关于y/x的一元二次方程，从而将题目中涉及的两条直线的斜率直接视为该一元二次方程的两个根，从而根据韦达定理直接得到斜率之和与斜率之积的表达式．

“齐次化”是一种通过构造关系式（等式或不等式）两边各项的次数相等，转化为齐次式结构，从而实现解题的一种数学转化方法．在求解圆锥曲线问题时，常常需要将直线方程与圆锥曲线方程联立，如果借助齐次化的思想方法，就可以得到关于y/x的一元二次方程，从而将题目中涉及的两条直线的斜率直接视为该一元二次方程的两个根，再根据韦达定理，即可直接得到斜率之和与斜率之积的表达式．齐次化思想方法的这种操作又常被称为齐次化联立．利用这种齐次化联立与平移齐次化方法，往往可以降低一类斜率之和或斜率之积问题的运算量，实现巧解．

在解析几何知识的学习过程中，学生遇到圆锥曲线综合题时往往表现得束手无策、举步维艰，“会而不对，对而不全，全而不优”的现象普遍存在．究其原因，一方面是因为学生对解析几何研究问题的基本方法——坐标法的认识较为肤浅，缺乏用坐标法解决综合问题的整体设计；另一方面是因为学生大都比较害怕“运算”，对运算对象的理解、运算思路的探究、运算程序的设计和运算路径的选择上存在不足[1]．教师在常态课堂教学中要更多地关注学生对坐标法解题程序的整体设计和运算思路的合理选择，促进学生更好地领悟解析方法的本质，提升数学运算素养．

3.1 齐次化方法体现了运用坐标法求解综合问题的整体构思

解析几何强调利用坐标系与函数、方程的相关知识，把有关图形的几何问题，转化为关于方程的代数问题，有利于人们对几何图形及其问题的深入研究．这也是解析法（坐标法）的本质特征．如何利用坐标与方程来求解圆锥曲线中的综合问题，这往往需要解题者在审题时进行整体的构思．比如在直线与圆锥曲线相交时，我们常先根据“设而不求”的思路得到x1 x2与x1*x2或者y1 y2与y1*y2，然后再利用这里的两根之和与两根之积实现“整体代换”，去求得线段之长、三角形的面积、斜率之和与斜率之积等等，进而去判断、求解相关的最值、定点与定值等问题．

在进行解题的整体构思时，一方面，我们必须较为精准地判断出每一个题设条件的用途，以便推知由此可以得出的结论；另一方面，从问题待求解的结论出发，我们也需要对其进行合理转化，寻求破解疑难的必要条件与充分条件，从而预计沟通题设条件与问题结论的可能性．从这个意义上说，上述齐次化方法充分体现了运用坐标法求解圆锥曲线综合问题的整体构思，齐次化联立能得到什么样的结论、解决什么样的问题，平移齐次化又能达到什么样的效果，平移后的“变”与“不变”怎样来解释平移前的问题……只有对齐次化方法有了整体的认知，才能将求解的思路形成一个整体构思．

3.2 齐次化方法强化合理依据运算法则解决数学问题的能力

数学运算被列入高中阶段数学核心素养，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．它既是一种特殊的逻辑推理，而且能较好地甄别学生解决问题的能力．由于解析几何是运用代数工具来解决几何问题，涉及到“数”与“式”的合理整合与灵活转换，“运算”往往成为许多学生在问题解决过程中的拦路虎．本文所展示的六道与斜率之和或斜率之积有关的问题，如果利用常规思路进行求解，往往会因为其较为复杂的表达形式和繁重的计算量，让学生产生畏难情绪．齐次化方法通过平移变换、齐次化简等灵活巧算的技巧和方法，合理构造出两条直线的斜率之和与斜率之积，大大简化了表达形式，降低了计算量．

因此，在平时的教学活动中，教师一方面要有意识地引导学生学会探索、归纳、梳理、总结圆锥曲线中的一些典型问题，以不变应万变，切实提高学生的解题能力与信心；另一方面，还需要引导学生从多元视角分析影响运算的相关因素，加强对理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路等数学运算本质的领悟与应用，不断渗透数学思路与方法，从而巩固“四基”和提升“四能”．