第3章时域分析法答案（线性系统时域分析法2）

二阶系统时域分析是考试的重点，前面已将动态性能指标列写出来，下面是欠阻尼系统的单位阶跃分析。

上面拉式反变换部分也可以作为一个考点，给出C(t)这样一个表达式，通过e部分的指数和sin部分的系数就可以直接写出ωn、ζ。很多考试超调量都是给出的，然后根据超调量计算ζ，所以记住下面第二个公式也是方便考试。

线性系统的稳定性分析、稳态误差计算

任何一个系统正常工作的首要前提就是稳定，系统的动态性能分析和稳态性能分析都以系统稳定为前提。

1.系统稳定的必要条件

系统的特征根都分布在s平面的左半平面，也就是说全部的特征跟都具有负实部。

2.系统稳定的必要条件

特征方程所有系数都大于零或者都小于零。

3.稳定判据

主要使用的是劳斯判据，赫尔维茨判据也可以。下图是劳斯判据表的列写方式。

除了满足上面的必要条件还要满足以下两点：1）如果系统满足稳定必要条件，且劳斯阵列的第一列系数全部大于零，则系统稳定 。2）劳斯阵列的第一列系数的符号改变的次数等于正实部根的个数。下面以几个例题说明劳斯判据的使用。

系统稳定

系统不稳定且有两个不稳定的根

下面说明出现零行的两种处理方式，首先说明出现零行肯定是不稳定的系统。

特殊情况1：

劳斯阵列中某导出行的第一项为零，而该行不全为零或没有余项则：

方法1：以很小的正数ε代替零项，继续计算劳斯阵列。令：ε→0，检验劳斯阵列第一列符号的变化： ①有符号变化：符号变化次数为正实部根的个数，系统不稳定。 ②无符号变化：有纯虚根存在，系统临界稳定（不稳定）

方法2：用(s a)乘以原方程，其中a>0，再对新方程应用劳斯判据。

特殊情况2：

劳斯阵列中某导出行全为零，用全零行上行各元素构造辅助多项式，并对辅助多项式求导，用其系数代替全零行，继续计算劳斯阵列。 ①有等值反号根存在，且符号变化次数为正实部特征根的个数，系统不稳定；②由辅助方程可求出这对等值反号的根。

赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据