梯度旋度与散度公式（梯度旋度散度）

话题：#数学# #微积分# #场论#

小石头/编

函数是实数ℝ上的映射（记为 f(x): ℝ → ℝ），

• 将函数的定义域改为向量ℝᵐ就变成多元函数（记为 f: ℝᵐ → ℝ）；
• 将函数的陪域改为向量ℝⁿ就变成向量函数（记为 f : ℝ → ℝⁿ）；

多元向量函数常常被称为场（记为 F: ℝᵐ → ℝⁿ）。

注：为了清晰，正文中所有 向量 或 向量函数 一律使用粗体。

低维度的向量 在物理学中有广泛的应用，它们常常被称为矢量，同时场的概念最早也源于物理。《矢量分析与场论》正是关于 三维矢量空间ℝ³ 中微积分应用的 数学课目，小石头今天要向大家介绍的 梯度、旋度 和 散度 就是 这门课的 最重要 概念。当然，这里小石头不打算 照本宣科《矢量分析与场论》中的内容，而是希望能从另一个更通俗易懂的角度来展开。

注：向量和矢量是同一英语单词vector的不同翻译。

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根据《高等数学》中的知识，我们知道， 导数，

是 函数 f: ℝ → ℝ 在其上任意一点 x 处的变化率。

与函数 只有 X 轴 这一个直线方向 不同， 三元函数 f(x, y, z): ℝ³ → ℝ 在其上任意一点 p = (x, y, z) 处，有无数个不同的方向，从而有无数个不同的变化率，为此 可分别取 X、Y、Z 轴对应的方向 i = (1, 0, 0) 、 j = (0, 1, 0)、 k = (0, 0, 1) 的变化率，

这些称为 偏导数，它们组成 一个 向量，

称为 梯度，这样以来，任意方向，

ℓ = Δxi Δyj Δzk, |ℓ| = √ ((Δx)² (Δy)² (Δz)²) = 1

对应的 变化率 就是，

fℓ = ∂f/∂ℓ = grad(f)·ℓ

这称为 方向导数。

根据向量点乘的性质，方向导数实际上是 grad(f) 在 ℓ 上的投影，即，

fℓ = |grad(f)||ℓ|cosθ = |grad(f)|cosθ

这说明，当 ℓ 和 grad(f) 方向一致时，方向导数 取得最大值，也就是说：

• 梯度 grad(f) 的方向 表示 f 在任意一点 p 处变化最快的方向，变化率为 |grad(f)(p)|。

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在三维场 F(x, y, z)=(P(x,y,z), Q(x,y, z), R(x, y, z)) : ℝ³ → ℝ³ 中，称 场沿平面封闭曲线的曲线积分 为 环量，环量与曲线所围面积之比为环量面密度。任取三维空间 ℝ³ 中的任意一点 p=(x, y, z)，下面考虑在 p 处的 环量面密度。

为了计算简单，我们用矩形框作 封闭曲线，并 以逆时针为正向 以右手螺旋定朝向。由于 矩形框是 二维的，于是 在三维空间中 就有不同的朝向，进而对应不同的 环量面密度，为此，可先 取 X，Y， Z 轴 三个方向的朝向，分别计算对应的 环量面密度：

• 以 Z 轴为 朝向，以 p 为中心作一个 大小是 Δx × Δy 的小矩形框，并让其四边 a, c 和 b, d 分别 平行于 X 和 Y 轴，

已知 F 在 p 点处的值为 F(p) = (P, Q, R) ，而 根据前面梯度的知识，我们知道 ∂P/∂x 和 ∂Q/∂x 分别是 P 和 Q 在 p 附近 沿着 X 轴方向的 变化率，由于 矩形框非常小，所以 F 在 p₁ 值为，

F(p₁) = (P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)

同样由于矩形框非常小，可以认为 a 边上的每一个点的 F 值都有一样，于是 矩形框a边的环量为，

[F(p₁)·j]Δy = [(P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2) · (0, 1, 0)]Δy = (Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy

类似地，可计算出， F 在 p₃ 处的值是，

F(p₃) = (P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2)

从而矩形框c边的环量为，

[F(p₃)·(-j)]Δy = [(P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2) · (0, -1, 0)]Δy = (-Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy

于是矩形框在X轴方向的环量（即，a c边的环量）就是，

(Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy (-Q (∂Q/∂x)Δx/2)Δy = (∂Q/∂x)ΔxΔy

同理，可以求得，矩形框在Y轴方向的环量（即，b d边的环量）是，

(-∂P/∂y)ΔxΔy

这样，矩形框的环量就是，

(∂Q/∂x - ∂P/∂y)ΔxΔy

而 ΔxΔy 刚好是矩形框的面积，于是环量面密度为：

∂Q/∂x - ∂P/∂y

• 与上面类似，可求得 X轴 和 Y轴 朝向 的环量面密度 分别为：∂R/∂y - ∂Q/∂z 和 ∂P/∂z - ∂R/∂x；

然后，三个朝向的 环量面密度 组成一个向量，

称为旋度，这样任意朝向 ℓ 的 环量面密度 就是，

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还是上面三维场 F，我们 称 场 在 曲面 某一单侧 的 曲面积分 为 通量，封闭曲面外侧的通量与曲面所围体积之比为通量密度。下面再考虑 p 点处的 通量密度。

为了计算简单，我们用立方体作 封闭曲面，以 p 点为中心 作一个 大小是 Δx × Δy × Δz 的立方体，让其 过任意顶点的 三边分别与 X, Y, Z 轴平行。

与前面类似，因为立方体非常小，所以，

F(p₁) = (P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)

同样因为 l 面非常小，所以认为 F 在 其上的每个点的 值都是 F(p₁) , 而 l 的面积是 Sl = ΔyΔz，于是 F 垂直通过 l 面的通量为，

[F(p₁)·i]Sl = [(P (∂P/∂x)Δx/2, Q (∂Q/∂x)Δx/2, R (∂R/∂x)Δx/2)]·(1, 0, 0)]ΔyΔz = (P (∂P/∂x)Δx/2)ΔyΔz

类似地，可计算出， F 垂直通过 r 面的通量为，

[F(p₁)·(-i)]Sr = [(P - (∂P/∂x)Δx/2, Q - (∂Q/∂x)Δx/2, R - (∂R/∂x)Δx/2)·(-1, 0, 0)]ΔyΔz = (-P (∂P/∂x)Δx/2)ΔyΔz

以上两项相加得到，

(∂P/∂x)ΔxΔyΔz

这就是 F 在 X 轴方向的通量，同理的计算出 F 在 Y 和 Z 轴 方向的通量分别为，

(∂Q/∂y)ΔxΔyΔz 和 (∂P/∂z)ΔxΔyΔz

于是，总的通量就是，

(∂P/∂x ∂Q/∂y ∂P/∂z)ΔxΔyΔz

而 ΔxΔyΔz 刚好是立方体的体积，于是通量密度就是，

这称为散度。

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到这样我们就轻松的引入了概念，

• 梯度：

grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

三元函数 f(x, y, z) 在任意一点处，沿着 X、Y，Z 轴三个直线方向上的 变化率；

• 旋度：

rot(F) = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)

三维场 F = (P, Q, R) 在任意一点处，朝向 X、Y，Z 轴 三个方向的 环量面密度；

• 散度：

div(F) = ∂P/∂x ∂Q/∂y ∂R/∂z

三维场 F = (P, Q, R) 在任意一点处的通量密度；

同时也解释它们的几何意义。

是不是很简单？！

当然，物理学上为了方便，还引入了 哈密尔顿 算子▽（读作 nabla），

这样，梯度、旋度、散度，可以分别记为

注：以上后两种表示，仅仅是形式上的，而实际上，▽ 在数学上中是用于表示黎曼联络，他是 梯度的升级概念。

（好了，以上就是本文的正文内容，如果大家还有余力可以看看 副文，希望大家喜欢！）

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副1：谈谈上同调

副2： 关于微分是线性化的说明

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