湖北恩施市中考数学题刷题（土家族苗族区的中考数学压轴题）

这是2021年湖南湘西土家族苗族自治州的中考数学压轴题，是一道抛物线上求“线段和”的最小值，以及平行四边形的存在性问题。老黄现在解这类题目，已经可以说是炉火纯青，已臻化境了。希望你也能轻松解决，远超老黄！

如图，已知抛物线y=ax^2 bx 4经过A(-1,0), B(4,0)两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接BC，求直线BC的解析式；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP PC的最小值；

(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：题目只给了抛物线的图像，因此作图的能力也是这道题考查的能力之一。

(1)求抛物线的解析式，就是求函数的两个参数。已知抛物线与横轴的两个交点的坐标，这种情况下，老黄推荐运用韦达定理。

(2)求直线的解析式，题意自然是要求用待定系数法的。但老黄建议直接用两点坐标的斜率公式求斜率，再用斜截式，直接写出BC的解析式。

(3)这道小题其实有三个要求。①在图中作出P点；②求P点的坐标；③求AP PC的最小值。因为P点在对称轴上，而A，B关于对称轴对称，所以PA＝PB，因此AP PC=BP PC，当B，P，C在同一直线上时，得到最小值。所以P点在BC和对称轴的交点上。P点的横坐标是x=3/2，代入BC的解析式就可以求得P点的纵坐标。

然后用两点的距离公式求BC的长。当AP PC=BC时，就最短。

(4)分成三种情况：①AC是对角线时，AC的中点就是MN的中点，AC中点的纵坐标易求，N点的纵坐标就可以知道，从而求出N点的横坐标；②AC是边，CN也是边时，CM的中点就是AN的中点，列式和①完全相同；③AC是边，CM是边时 ，CN的中点就是AM的中点，由纵坐标的关系，也可以求得N的坐标。这里运用的是平行四边形对角线互相平分的性质。而横坐标不用考虑，是因为M点的横坐标是任取的，总能取得满足条件的M点。

下面组织解题过程：

解：(1)由4/a=-4，得a=-1；【两根积等于c/a】

由-b/a=-1 4，得b=3；【两根和等于-b/a】

∴抛物线解析式为：y=-x^2 3x 4.

(2)C(0,4)；k=-4/4=-1，∴直线BC的解析式为：y=-x 4.

(3)如图，点P是BC与抛物线对称轴的交点，

当x=3/2时，y=-3/2 4=5/2，∴P(3/2,5/2).

当AP PC=BC=4根号2时，最小.【三角形AOB是等腰直角三角形】

(4)可设N(n,-n^2 3n 4)，

当AC是对角线时，-n^2 3n 4=4，解得n=3或n=0(舍去)；

当AC，CN是边时，同上；

当AC，CM是边时，-n^2 3n 4=-4；解得n=(3±根号41)/2.

∴N(3,4)或N((3 根号41)/2,-4)或N(((3-根号41)/2,-4)).

第(4)小题的一般解法是通过观察形成平行四边形的图形，来分类讨论的。出题人应该也是这个意图的。但请看下面的图形，问你看着晕不晕。

可见，掌握老黄解决这类问题的方法，有多么重要！