因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)

——分专题讲解因式分解的方法与利用

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(1)

一、因式分解的相关概念

1.因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

2.多项式:由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数。

3.整式:单项式和多项式都统称为整式。整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。

4.单项式:由数字或字母的乘积组成的式子。单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因素称为系数。单项式中的所有字母的指数和称为次数。

5.代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(2)

摘自网络

整式的因式分解与整式的乘法是互逆的代数式变形。

玩一玩,思考下:我们为什么选择24点游戏?

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(3)

网络图片合成

二、因式分解的一般原则

1.最后结果每一项都为最简因式,也就是分解要彻底。(即分解之后的因式均不能再做分解;是否有公因式,是否可用公式);

2.最后结果只留下小括号;

3.最后结果中多项式首项系数为正(结果的多项式是首项为正,为负时提出负号,如,

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(4)

4.如有单项式和多项式相乘, 应把单项式提到多项式前;

5.相同因式的乘积写成幂的形式;

6.如无特殊要求,一般在有理数范围内分解;如另有要求,在要求的范围内分解。

根据因式分解的原则,初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、公式法和配方法(一元二次方程),中考主要是这三种方法的组合利用,解题中也会应用分组分解法、拆项或添减项法和十字相乘法等技巧。而在初中数学竞赛中有待定系数法、求根公式法、换元法、双十字相乘法、长除法、短除法、除法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法等。

看一看,下利用了什么方法?

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(5)

某重点中学预录试题

三、因式分解的一般步骤

1.如果多项式的各项有公因式(有的系数需要考虑具体情况);或者分类后有公因式,那么先提公因式;

2.如果各项没有公因式或提公因式后,可尝试运用公式法、十字相乘法来分解(对于二次二项或三项的式子,考虑应用平方差或完全平方公式分解;对于三次二项式,考虑应用立方和、立方差公式分解);

3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项法来分解(对于四项以上的多项式,考虑用分组分解法);

4.检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解;

5.验证分解后的因式能否还原。

总结:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试;分析常数找规律,分组、拆项要合适,再用公式也不迟。”

练一练,看看利用了什么方法,哪些步骤?

因式分解的步骤和要求(因式分解的原则和步骤)(6)

下一专题《因式分解的思想和作用(3)》

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