数学压轴题思路大全（攻破最可怕的数学压轴题）

近年来各地的中考题中，越来越多的出现"新定义问题"，着重考查学生的学习能力、应用知识水平和创新意识。

所谓"新定义问题"，是给出一个学生没有接触过的的事物的新定义，现学现用，去解决问题；主要包括以下几种类型：①概念的"新定义"；②运算的"新定义"；③规则的"新定义" ；④实验操作的"新定义"；⑤几何图形的新定义．

题型分析

中考数学卷中"新定义"问题一直深受出题人的青睐，但同时也是很多学生望而生畏的题型。所谓"新定义"题型，即是在考试题目中，定义了初中数学教材上没有的概念、运算法则等等。它将"新定义"的理解、数学阅读和数学探究有机结合的一类试题。这就要求学生要在短时间内读懂定义、看懂规则，并运用此概念、规则解决相关问题。这类问题不仅考查学生的自主学习能力、创新能力、运算能力、推理能力，还考查更高层次的抽象思维能力，直指数学学科核心素养。解决这类问题的关键在于学生要能抽象出新概念中的核心原则，类比所学知识的思想和方法，最终完成解答。

经典考题

【解析】：本题题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了"三角形中内弧"新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t＝1/2时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（1/2，1），

设P（1/2，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，

∵DE∥OC，∴∠AED＝∠ACO＝45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝1/2,根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤1/2.

综上所述，m≤1/2或m≥1．

②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝3/2，

∴P（t，3/2），

∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠AOB＝90°

方法点评：

本题以中内弧的新定义为背景，第1问，给定特殊的等腰直角三角形，找中位线产生的最长的中内弧，各种特殊的设定，大大降低了难度，让考生先认识、体会中内弧的定义和特点：中内弧是定弦、但圆心不定情况下产生的所有点在三角形内部或边上的一组弧；

遵循由"特殊到一般"的思想，第2问，三角形的背景变成了平面直角坐标系下的直角三角形，同样是中位线产生的中内弧，但因为点坐标含参数t而多了很多不确定性；在第2问中，题目有梯度的设计，第①小问给定t值，求圆心纵坐标的取值范围，这时需要注意到中内弧可能在上下两个方向，因此圆心的纵坐标需要分类讨论； 第②小问难度较大，因为t值不确定，需要进行分类讨论，然后再寻找临界情况，以此确定t的取值范围，对圆的性质的考察提出了较高的要求.

2．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的"闭距离"，记作d（M，N）．

已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．

（1）求d（点O，△ABC）；

（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；

（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．

【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握"闭距离"的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．

（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，

∴d（点O，△ABC）＝2；

（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，

当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；

当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；

∴﹣1≤k≤1，

∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；

（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：

①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1知此时t＝﹣4；

②当⊙T在△ABC内部时，

当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0；

3．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．

求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

【解析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FAB与∠EBA互余，即可求解；

（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，

∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD DE＝5BE，

∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，

∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QB/NC=BD/CE，

∵QB＝3，∴NC＝5，

∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．

4．（2017•咸宁）定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为"智慧三角形"．

理解：

（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为"智慧三角形"（画出点C的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝1/4CD，试判断△AEF是否为"智慧三角形"，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为"智慧三角形"，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

【解析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；

（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为"智慧三角形"；

（3）如图3所示：

由"智慧三角形"的定义可得△OPQ为直角三角形，

根据题意可得一条直角边OP＝1，∴PQ最小时，△POQ的面积最小，即OQ最小，由垂线段最短可得斜边最小为3，

5．（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝1/2∠D，∠C＝1/2∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

【解析】（1）根据题意得出∠B＝1/2∠D，∠C＝1/2∠A，代入∠A ∠B ∠C ∠D＝360°求出即可；

（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE＝∠BOE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，求出∠EFC＝180°﹣2α，∠AOC＝180°﹣2α，即可得出等答案；

（3）解：过点O作OM⊥BC于M，

∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC ∠ACB＝120°，

∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴BC＝2BM＝√3BO＝√3BD，

∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，

∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，

6．（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求BD/DC的值．

【解析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，∴BH＝1/2BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

2020中考新定义类压轴题预测题

1．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α 2β＝90°，那我们称这个三角形为"近直角三角形"．

（1）若△ABC是"近直角三角形"，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝_____度；

（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，

①求证：△BDC是"近直角三角形"；

②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是"近直角三角形"？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为"近直角三角形"，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．

【解析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α 2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α 2β＝90°，则β＝20°，答案为20；

（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α 2β＝90°，故△BDC是"近直角三角形"；

②存在，理由：

在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是"近直角三角形"，

AB＝3，AC＝4，则BC＝5，

则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，

即AB/AE=AC/AB，即3/AE=4/3，解得：AE＝9/4，则CE＝4﹣9/4=7/4；

（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，

则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，

AB＝BE＝5，

过点A作AH⊥BC于点H，

设BH＝x，则HE＝5﹣x，

②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，

过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），

∵∠AEB＝∠DAE ∠C＝α β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，

∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：GE＝2：3，

则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝1/2DE＝k，

2．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做"十字形"．

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是"十字形"的有_______．

（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD

①证明：四边形ABCD是"十字形"；

②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．

（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC BD＝3，求线段OE的取值范围．

【解析】（1）利用"十字形"的定义判断即可；

（2）①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；

②先判断出∠ADB ∠CAD＝∠ABD ∠CAB，进而判断出∠AED＝∠AEB＝90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE²＝2﹣（AC² BD²），设AC＝m，列出二次函数分析即可．

（3）由已知条件推知，AC⊥BD．过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，

∵∠ADB ∠CBD＝∠ABD ∠CDB，∠CBD＝∠CAD，

∴∠ADB ∠CAD＝∠ABD ∠CAB，

∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，

过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

3．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

（1）如图（1），若O为AB的中点，则直线OC______△ABC的等腰分割线（填"是"或"不是"）

（2）如图（2）已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点P，且PB＝PA，请求出CP的长度．

（3）如图（3），在△ABC中，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，求线段BQ的长度等于______．（直接写出答案）．

【解析】：（1）如图（1），是．

∵∠ACB＝90°，O为AB中点，

在Rt△ACB中，OC＝1/2AB＝AO＝BO，

∴得等腰△AOC和等腰△BOC．

则直线OC是△ABC的等腰分割线

故答案为：是；

（2）由题可知PA＝PB，BC＝6，

设CP＝x，则PA＝PB＝8﹣x，

（3）BQ＝5或2或6或36/5．

①若△ACQ为等腰三角形，

如图（3），当AC＝AQ时，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，

如图（4），当QC＝QA时，Q为AB中点，BQ＝1/2AB＝5．

当CA＝CQ时，Q不在线段AB上，舍去．

②若△BCQ为等腰三角形．

如图（5），当CQ＝CB时，过C作CM⊥AB于M，此时M为BQ的中点，

如图（6），当BC＝BQ时，BQ＝BC＝6．如图（7），当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝1/2AB＝5．综上，BQ＝2或5或36/5或6．

解题总结

新定义型试题是建立在学生己学知识及思想方法的基础之上，解这类问题时，首先要求学生具有良好的学习新知的能力，准确理解定义的含义，再联系已学的思想方法解决闻题.基于反比例函数为背景的新定义问题仅仅是新定义问题中的一类，新定义问题形式多样，涉及内容广泛，无论代数还是几何，均可涉及.比如：新定义数、新定义函数，新定义运算、新定义变换、新定义图形等等，但从上例中我们可以得到解决这类问题的一般思路。

（1）紧扣定义，理清题意求解任何一道题，首先应理解题意，明确题目中已知与未知。而对于新定义问题更是如此，一个陌生的概念或法则.需要解析题目中定义了什么，能得到什么，怎么用等.比如例题中定义了"眸"及"眸径"，挖据定义可以得到其实质是函数图像交点问题，因此，交点坐标是解题关键，那么点的坐标可以怎么求呢？

（2）回归教材，寻求方法新定义问题虽然新颖，但是当我们理解定义的定义后，联系题目中的其他条件，不难发现新定义题型都与教材知识紧密相连，比如上面考题就涉及到教材中的反比例函数与一次函数图像交点，图形平移中点的坐标及函数解析式的变化规律，解方程（组）等内容.

（3）尝试解题，择优选择一个问题的思考角度不同，解决方法亦会不同。在具体问题中，我们不难发现一些思路理论上可以解决问题，但实际操作起来非常困难.数学解题的原则是将复杂问题简单化，因此，择优选取方法、转化问题，简洁、正确地解决问题.比如例题中的两种解法，其关键都是P、Q两点坐标，解法1由函数解析式表示出交点坐标建立方程的方式故然没错，但在解题中不难发现其运算量很大.因此，再次分析题目，思考已知的条件之间有什么联系，能够得到什么。是否可以转化问题，不难找到解法2的思路。

3. 把握新定义问题的最大三个特点，

特点之一：思想和能力立意（ 万变不离其宗）

新定义问题一般第一问相对较易，引用毛主席1948年说过的话要从战略上藐视敌人，战术上重视敌人，战略上藐视就是新定义问题这只狐狸不就是四大思想、四大能力吗？除了这个再也整不出新花样了！

特点之二：具体到做第一问阅读理解问题时，要舍得花时间，尽量发现新概念中所研究对象的本质特征，因为照猫画虎也好、照猫画豹子也好，首先要把猫的特征理解把握明确，才能游刃有余的发挥，而不是只满足于得到了送的分就沾沾自喜，这也是所谓的战术上重视敌人。

这里，我还想强调这句话：世界上没有无缘无故的恨，也没有无缘无故的爱，更没有无缘无故的第（1）问

特点之三：抓特殊位置、特殊值、临界点，这是永恒不变的主题，也是有效得分的技巧。

其实，我们冷静的想一想，既然新定义问题是代几综合，几何图形一旦出现圆，如果涉及到计算，就要转化为直角三角形或相似，而要想得到直角三角形，就必然用到垂径定理、直径所对的圆周角是90度、切线的性质定理。这样找特殊位置也就不难想到了。而代几综合也肯定涉及到函数，涉及到函数的计算大部分都要求点的坐标，当然我们要找特殊点代入了。

教学感悟

我还想强调教学中要抓住新定义代几综合题的特点：数形结合，尤其是要引导学生重视形的作用，以形助数、才能化抽象为直观，才能化繁为简，才能四两拨千斤。敢于动手、敢于画图、敢于画出边界线，以静制动、才有了抓手。教学中还要强调考试技巧，提示同学根据新定义问题的特点和自己的实力，敢于出击也要勇于放弃，首先，要通过练习，鼓励同学们要有挑战的勇气，第一问的分势在必得，第二问尽量拿分，第三问使完自己的三板斧-------紧抓特殊、以形助数、方程思想，打的赢就打，打不赢就走，最后在检查全卷其他题没有问题的情况下，可以继续冲刺钻研。

可以说，新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生学习能力、实践能力及创新精神，很好地体现了新课标的理念.但无论题目以何种方式早现，其本质都是源于教材的核心知识，解决这类问题，关键在于紧扣定义，联系已学知识和数学思想方法.

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