实数的六个定理(算术公理系统之)

实数的六个定理(算术公理系统之)(1)

减法的定义,以及负0的加入,让原本庸常的事情骤然变得有意思起来,将正整数与负整数两列并为一列,便能见出端倪:

…、-3、-2、-1、-0 | 0、1、2、3、…

此列数中最惹人注意的就是-0和0紧密挨在一起,它俩是什么关系?又如何来描述这种关系?

数有大小和先后两个基本属性,比如物理学中的波粒二象性,大小和先后堪称数的“基序二象性”,大小为基,先后为序,基序两性是所有数生而具有的不可灭失的属性。现将所有整数按大小先后依次排列,便让数的基序性直观地呈现出来。再将每个整数所占据的位置用一条直线串联起来,便得到一条标注了整数的线,姑且叫它数线吧,整数有无穷多,则数线有无限长。如下图:

实数的六个定理(算术公理系统之)(2)

数线本质上是数的基序两性在空间中展开,有一个量即距离,可以量化地来描述数的基序性。通常把两个数的差的绝对值称为这两个数之间的距离,记作|x-y|。由于绝对值总是大于等于0,即|x-y|≥0,针对这个差值的大小做进一步研究,则有相距甚远、相邻和连续。相距甚远就是距离远大于0,没什么好说的,重点讨论相邻和连续。

相邻就是两个元素之间没有同类元素,不相邻即为相间。比如指着数线,我们说-0与0相邻,0与1相邻,2与3相邻。虽然0与1之间距离为1,说明它们之间还有其他数,但肯定不是整数,而0与1是整数,两者之间没有隔着整数,所以0与1相邻。0与2都是整数,其间隔着另一个整数1,所以不能说0与2相邻,只能说0与2相间。

连续就是两个元素之间没有任何其他元素,不连续即为离散,两个数连续就是两个数之间的距离为0。由于|-0-0|=0,所以-0与0不仅相邻,而且连续。可见相邻是靠得很近,连续是靠得更近,近至亲密无间。若是单纯考察直线上的两个点,那么相邻即连续,连续即相邻。

-0与0连续,意味着两数亲密无间,但毕竟是两个数,在给直线上的点做标注时,各自标注各自的点,这两个点相互挨着但不重合。那么数线是应该以0为原点,还是以-0为原点呢?因为直线上的点只有先后没有大小,又因为-0=0,两个点亲密无间地靠在一起,大体可视为一个点,所以还是按通常的习惯以0为原点。在数线上将-0和0同时标注出来,确实有些突兀,为了简洁美观,一般也只标注0而不标注-0,但切不可因此忘记-0的存在。

数线得以确立的前提假设包括两条。第一条,数线中的直线是由点一个一个前后相接而成,任意相邻两点之间的距离为0,并且没有重叠,假设点没有重叠会省去许多无谓的讨论。第二条,数线上的一个点对应着一个数,一个数也对应着一个点,即数与点之间一一对应。

虽然确立了数与点一一对应,我们可以参照数来理解点,也可以参照点来理解数,但并不意味着点即是数,数即是点,点与数之间仍具有根本区别。点没有大小,只有先后,一个点就代表直线上的一个位置;而数既有大小又有先后,将它与点一一对应起来,并用两个数之间的大小差异即距离,来衡量两个点之间的位置关系,这个神操作,会推演出一系列意想不到的结论。

当距离为0时,表明两个点已经靠在一起,亲密而无间,但这两个点并没有重叠为一个点,因为前提假设即是直线上的点一个挨着一个不出现重叠。不重叠,说明这两点之间的空间差异并未消失,仍然占据着两个不同的位置。但神奇的是,距离为0的两个点所对应的两个数,这两个数的大小差异已经消失了。a-b=0,则a=b;a=b,则a、b一样大,不能再区分谁大谁小。此时两点的距离为0正好对应着两数的距离为0,问题来了,仍以-0与0为例,-0=0,两数相等,即两数在大小上没有差异。直线上的点从左往右排,在左为先,在右为后,为先的数小,为后的数大,-0明显在左,0明显在右,两数在先后上存在差异,理当有-0<0才对啊!根据三歧性,数与数之间要么等于,要么小于,要么大于,三者必居其一,那么究竟是-0=0对,还是-0<0对呢?

连续还能进一步细分,分为贴合与重合。贴合是指连续的两个元素,各自占有各自的空间,只是边缘靠在一起;重合即重叠,是指两个元素突破边缘,继续靠近,直至完全占据同一个空间。前者是左邻右里,后者是鸠鹊同巢。或者说,贴合是距离为1个0,而重合是距离为0个0,听起来有点绕,还是看图吧:

实数的六个定理(算术公理系统之)(3)

直线上点的连续便是贴合式的连续,不能是重合式的,否则连续地点就永远叠加在一个点,抻不出有长度的线。那么与点相对应的数也应该是贴合式的连续,什么时候才会用到重合呢?当一个数自身与自身相等,即a=a,这时用重合;当相异的两个数相等,即a=b,这时用贴合。

一个数自身与自身相等,这个数的大小与先后都相等,只有a=a,绝没有a<a(或者a>a);相异的两个数相等,这两个数的大小相等,但它们的先后并不相等,于是a=b的同时有a<b(或者a>b),这时称相异的两个数在连续时出现了相等与不相等的叠加态。由于数是大小与先后的复合,具有基序二象性,二象性在连续这个极端情况下就表现为相等与不相等的叠加。

相等了就不能再有不相等,不相等了就不能再有相等,相互矛盾的两种性质怎么会叠加并同时出现呢?如果对此感觉不可思议,难以理解,可以参考量子力学。量子力学中有一只著名的小怪兽——“薛定谔的猫”,在打开盒子察看之前,它便是一只既死又活的猫,既死又活,即为死与活两种截然相反的生命状态的叠加。只有在打开盒子的一刹那,它才确定地向我们展示是死是活。对于连续的两个数来说大概也是这样,在发生连续断裂之前,它们就处在一种既相等又不相等的叠加态,一旦断裂,就确定地表现为不相等。“薛定谔的猫”如何既死又活,很考验人的想象力;数如何即相等又不相等,同样考验人的想象力。

实数的六个定理(算术公理系统之)(4)

人的想象力

-0与0是相异的两个数,所以它们连续时,是相等与不相等的叠加,-0=0对,同时-0<0也对。叠加态为我们开了一个巨大的脑洞,进入这个脑洞可以继续更为有趣地推演:

当ab两点连续,a<b,意味着a在前,b在后,a、b之间相距一个点,点没有大小,一个点即一个0,所以a、b之间的距离b-a=0=0×1;

在a、b之间插入一个点,即a p1 b三点连续,仍然a<b,a、b之间相距两个点,两个点即两个0,所以a、b之间的距离b-a=0+0=0×2;

再插入一个点,即a p1 p2 b四点连续,仍然a<b,a、b之间相距三个点,三个点即三个0,所以a、b之间的距离b-a=0+0+0=0×3;

再插入一个点,即a p1 p2 p3 b五点连续,仍然a<b,a、b之间相距四个点,四个点即四个0,所以a、b之间的距离b-a=0+0+0+0=0×4;

a<b,说明a、b两点之间有距离,只是这个距离要由若干个点来衡量,而点没有大小,正好对应到数字0,于是计量若干个点的距离即为计算若干个0之和。假设a、b之间包含点的数量为n(n≥1),那么a、b之间的距离就是(n-1)个0之和。当n=1,则a、b指的是同一个数,一个数自身与自身的距离为0个0;当n=2,则a、b是相邻且连续的两个数,其距离为1个0;当n=3,则a、b之间的距离为2个0,……,以至无穷。

根据描述数字0运算性质的0乘公理,0×x=0,0乘任何数等于0,只要n不是无穷大,(n-1)个0之和就总是收敛于0,即0×(n-1)=0。收敛于0就意味着a=b,说明有穷个点顺次连续,依然存在两点连续时的叠加态,a=b,同时a<b。由此可见,两点或多点连续之所以会产生叠加态,其根本原因在于0的特殊运算性质,即0具有乘法收敛性。

另外还说明有穷个点连续,并不能构建出有长度的线,但是一个点与两个点毕竟有区别,两个点与三个点毕竟有区别,当我们说线是由点构成的时候,当我们细致到一个点一个点来考察线的时候,这种区别不能被忽略。于是当我们说一条没有长度的线,或者两点之间的距离为0时,需要特别小心了,这条没有长度的线上可能有三个点,也可能有五个点,这样的线在现实中无法分辨;两点之间的距离为0,可能是相距三个点,也可能是相距五个点,这样的距离在现实中也无法区别。在现实中无法分辨或者区别,并不意味着在数学上就可以视而不见。

实数的六个定理(算术公理系统之)(5)

那么要多少个点才能构建出有长度的线呢?——唯有无穷个点的聚合才能构建出有长度的线,一条直线上有无穷个点,直线上任意一段有长度的线也都包含无穷个点。有穷与无穷是有长度与没长度的分界点。

回到最初的前提假设,直线上的一个点要对应一个数,那么从某个点开始,这个点标记为0,以此为原点,然后从左往右,紧挨着0点的数是(0+0),紧挨着(0+0)点的数是(0+0+0),如此不断进行下去。看下面的示意图:

实数的六个定理(算术公理系统之)(6)

点是一个挨着一个排列,以算术的方式表示即为:

实数的六个定理(算术公理系统之)(7)

,任意相邻两个点之间的距离为一个0,距离为0即为相等,于是亦可以表示为:

实数的六个定理(算术公理系统之)(8)

(其中符号“≤”表示小于或者等于,逻辑上是包含小于并且等于的)

按理说,与之对应的数也应该是一个挨着一个排列,即为:

实数的六个定理(算术公理系统之)(9)

,任意相邻两个数之间的距离为一个0,距离为0即为相等,于是亦可以表示为:

实数的六个定理(算术公理系统之)(10)

这列数已经全然不是整数,而是接下来要讨论的实数。此刻数的概念,从整数一步跨到实数,中间越过了有理数和无理数,这个跨度可谓相当大,不少人会就此蒙圈。但问题是这一步跨得过去吗?——数字0与数字(0+0)有区别吗?数字(0+0)与数字(0+0+0)有区别吗? 相差一个0和相差两个0就能是两个不同的数吗?

实数的六个定理(算术公理系统之)(11)

只要我们坚信一个点对应着一个数,一个不同的点对应着一个不同的数,我们就必须坚信有区别,0是一个数,(0+0)是另外一个数,(0+0+0)又是另外一个数。0、 (0+0)和(0+0+0),是三个不同的数,但各自运算最终都收敛到0,说明这三个数相等,相等意味着大小上没有差别,没有差别就不能被区分。

实数的六个定理(算术公理系统之)(12)

像(0+0)与(0+0+0)这样既是不同的数,又不能在大小上跟0相区分,就统称为不可区分数,与之相对的是可区分数,0是一个可区分数。(0+0)是0后面紧挨着的一个数,还记得-0嘛,-0就是(0-0),正是0前面紧挨着的一个数。由此知道,与0相邻的两个数分别是(0-0)和(0+0),那么与1相邻的两个数呢?是(1-0)和(1+0)。在此之前,我们对相邻实数是没有概念的,所有人都知道数字0,但紧挨着0的下一个数是多少,却没人知道,而且是自打女娲补天、上帝造人以来就没人知道。

然后不停地加下去,遇一个点加一个0,遇一个点加一个0,如此操作,可以保证有一个点就必然对应有一个数,既不重复也无遗漏。做下来的结果就是有一个数必对应一个点,数与点一一对应。一直以来人们苦苦追寻的实数连续性,得来居然不费吹灰之力。

由于有穷个0之和恒等于0,可以想见每个可区分数两侧都接连着许许多多的不可区分数。在“有穷个0”的范围内,许许多多的不可区分数都收敛到一个可区分数身上,这场面可以形象地描述为不可区分数在向可区分数收缩,仿佛一只小小的章鱼长着两条长长的手腕,数的收缩不过是小章鱼在肆意摆弄自己的长手腕。

一直加到结果不再收敛到一个可区分数,而是收敛到下一个可区分数为止,然后从这个可区分数开始加0,不停地加下去,直到再下一个可区分数。如此往复,以至无穷。整个过程都是在加0,没有干其他的,但是随着可区分数的一个一个出现,这些所加的0会分别收敛到不同的可区分数。这是数比点有意思的地方,点比较死板,点到哪就固定在哪,不像数还有收敛一说,因为收敛,使得所有不可区分数可以隐藏到可区分数身后,不为人所知。

像点一样,无穷多个点才能聚合出有长度的线,数从一个可区分数不断加0,加到另一个可区分数至少也需要无穷个0。我们可以把等于0的距离称为魔幻距离,而把大于0的距离称为现实距离。魔幻距离是数与数产生融合的距离,而现实距离则是数与数产生分别的距离。有穷与无穷便是魔幻与现实的分界点。

假如我们在直线上的某一点处标注了0,然后在这个基础上加无穷个0,就能知道数字1的位置吗?——不可能知道。根据0积公理,0×∞=x,无穷个0之和可以等于任何数,可以是0,也可以是1,根据这个公式我们只有知道结果是1,然后倒推出它必然是无穷个0之和。因为直线上任意一段有长度的线都包含无穷个点,皆是无穷个0之和,那么只需在0点右侧任取一点标注为1,使得1点到0点的距离是一段大于0的现实距离即可。然后以这段距离为尺子,在直线上依次标注出其他所有整数点的位置。于是得到了一条基本可用的数线。

数线上除了标注整数的点,尚有无穷无尽的点没有标注,它们对应着无穷无尽的数,不由得好奇这么多的数,不是整数会是些什么数呢?有了数线,知道点的连续和数的连续,并清楚数的叠加态,借用“戴德金分割”这个绝妙的方法,可以略为瞥一眼数线上还有哪些数。

实数的六个定理(算术公理系统之)(13)

有理数如何分布不清楚,但整数的分布情况我们很清楚,前面举例说,以0、1的中点为分割点,对整数进行分割,得到分割点p=1/2,A≤0,B≥1,1/2既不在A中、也不在B中,所以它不是整数,而是有理数。我们因此说,通过“戴德金分割”从整数分割出了有理数。其实这不对,严格来说,对整数进行分割可以分割出新数,只是这个新数不是有理数,而是“非整数”。非整数就意味着可以是有理数,也可以是无理数。在0和1之间有着无穷多的有理数,也有着无穷多的无理数,任意一刀砍下去,我们不知道砍到的究竟是有理数还是无理数,因为A、B断开的结果是一样的,都是A≤0,B≥1。单凭这个结果,我们不能推断出砍到的是什么数。

之所以能够精确地砍出1/2,那是因为通过计算,我们事先知道它的确切位置,然后指哪砍哪,才砍出了所谓的有理数。如果不知道呢,单纯地使用“戴德金分割”在0、1之间乱砍,对于砍出来的数,即分割点p,我们只能大概地知道它比0要大,比1要小,可能是有理数,也可能是无理数,然后就没有更多了。

借鉴整数的分割,由整数分割出新数是先找到相邻的两个整数,然后在这两个数之间落刀。那么对有理数进行分割,要分割出一个新数无理数,是不是也可以先找到两个相邻的有理数,然后通过这两个有理数构造出一个无理数呢?——当然,这里要找的相邻有理数不是2与(2+0)这种收敛后相等的有理数,而是作为两个可区分数的有理数,它们之间只包含无理数,就像整数0和1之间只有小数的情况那样。能找到这样的两个有理数吗?比如就在0附近找,找一个比0大,又与0相邻的有理数,是多少呢?

考察实数的连续性分布,0是一个可区分数,在右侧紧挨着0的另一个可区分数是0+(d-0),这个数是有理数还是无理数,不知道,再往后的可区分数是有理数还是无理数,更是不知道。但可以肯定一件事,一定存在一个与0相邻的有理数,只是它与0相距多远,我们不知道。

实数的六个定理(算术公理系统之)(14)

“戴德金分割”对整数进行分割,可以确证非整数的存在,但并不能定义出具体的有理数;同样的,对有理数进行分割,可以确证无理数的存在,但也不能定义出具体的无理数。这样看来,戴德金的梦想可能要破灭了。

正统的尺规作图,要求使用不带刻度的直尺和圆规,而“戴德金分割”是在使用带刻度的直尺和圆规作图,它必须在标记了数的直线上进行分割。试想一下我们将数线上所有的数都抹掉,剩下一条光杆直线给它分割,任凭怎么分,最后分得的结果都一样,如同用白颜色的笔在白板上作画,再怎么画,作品都是白板一块。所以数的存在,以及数的分布,是“戴德金分割”得以奏效的先决条件,或者说有怎样的数,以及数的分布,就会有怎样的分割结果。那么所谓分割出新数,可能只是个笑话,在明白连续之真意后,我们就可以人为地制造连续。比如将所有正整数按连续的方式重新排列,之前我们熟悉的正整数是相邻两个数之间的距离为1,写出来是这样一列数:

0<1<2<3<4<5<……

按连续的方式重新排列,使得相邻两个数之间的距离为一个0,则变成这样了:

0=1=2=3=4=5=……

务必不要先入为主地以为这是一个错误的式子,看下面的示意图就能清楚:

实数的六个定理(算术公理系统之)(15)

正整数还是原来的正整数,只是排列方式改变了,所有正整数像直线上的点一样一个挨着一个排列,从而构造出一个连续的正整数序列。在这个序列上进行分割,不管怎么分割,都分割不出像1/2这样的有理数,像根号2这样的无理数,因为连续了,不会有新数产生。由此分明可以看出,连续不是分割出来的,而是排列出来的。

连续,是一个古老而深刻的命题,众多智者先贤对此有过思考和讨论,距离为0即为连续,估计是有史以来最为简洁的描述。而0有着一些非常奇特的算术性质,遵从这些性质,可以推演出一个由可区分数与不可区分数构建的实数系统,这个系统与通常理解的实数系统有很大的不同,它的基础是0与∞。没有0,我们就没法理解点,没有∞,就没法理解点如何构建出直线;没有0和∞,也就没有可区分数与不可区分数的概念,没有这两个概念,我们就不能细致入微地一个数一个数地去认知实数。将0、∞,以及连续打通来理解,很可能就是一种新的世界观,它不同于自亚里士多德以来人们所沿袭的世界观。

作者:灵渠水怪链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/369323156来源:知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页