黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)

求和(或sigma符号)允许我们在一个表达式中写出一个长长的求和公式。虽然求和符号在整个数学(特别是微积分)中有很多用途,但我们要解决的是如何使用它来写黎曼和。

用求和符号来表示黎曼和的例子

假设我们在X=0.5和X=3.5区间上逼近f(x)=√x曲线下的面积

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(1)

现在我们将上述区间分为四个相等的部分,并使用求和符号来表示这四个相等的细分的区间,这就是我们所说的黎曼和(这里的相等指的是X上的等距划分)

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(2)

让 A(i)表示第i个近似矩形的面积

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(3)

整个黎曼和可以写成:

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(4)

我们现在要做的是找到 A(i)的表达

整个区间宽度是3,我们想要将其划分为4个相等部分,所以每个矩形的宽度就是3/4=0.75,每个矩形的高度就是右端点在√x的取值

如下让xi表示每个长方形的右端点坐标值,我们从X=0.5,间隔为0.75开始,并不断循环

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(5)

因此xi的坐标公式就是0.5 0.75i,它在Xi的取值就是

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(6)

所以我们得到了矩形 A(i)面积的一般表达式

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(7)

现在剩下的就是把从1到4的矩形的表达式的值加起来

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(8)

总结:用求和符号表示黎曼和的过程

想象一下我们想在区间[a,b]内用n等分逼近f(x)图下的面积

定义ΔX: 用Δx表示每个矩形的宽度,Δx=(b-a)/n

定义Xi: xi表示每个矩形的右端点,然后xi=a Δxi

每个矩形的高度就是f(xi),每个矩形的面积就是Δxf(xi)

对矩形面积求和现在我们使用求和符号来表示所有矩形的面积

值得一提的是:左黎曼和右黎曼和是不同的

当我们写一个右黎曼和时,我们取得i是从1到n的值

然而,当我们写一个左黎曼和时,我们取得i值是从0到n-1(这将给出每个矩形左端点处的f值)。

黎曼求和法(我们用求和原理表示黎曼和的本质原理)(9)

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