上海特级教师上语文课（看看上海中学的特级教师是如何出题的）

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如果你在上海读过高中，可能就曾经膜拜过上海中学的题目——数学题目。上海中学的老师是如何命题的？

本文作者况亦军为上海市数学特级教师，上海中学数学教研组组长。看看况老师是怎么说的吧！

学习数学要做习题，通常人们对此并无疑义。

纵观学生做题，拉到篮里就是菜，不论什么题，不管有没有学习价值，做了再说，这是教学中屡见不鲜的现象。

上世纪70年代末我自己读中学的时候，见到题就做，实在是出于无奈，那时国家刚刚走出阴霾，百废待兴，能得到一两本参考书，能找到一些题来练习，那就不错了。

随着社会的发展，我们的教育水平有了本质性的提高，从一个方面讲，现在可供学生学习的知识从广度到深度以及选择性都是三十多年前无法想象的，但是从另一个方面讲，我们又创造了“题海”这样一个名词。

经过三十多年的积累，数学教育有了极为丰富的资源，有了近乎取之不尽的习题，于是，学生还是免不了拉到篮里就是菜，因为实在太丰富了。

要让学生得到对其自身发展最有价值的数学学习素材，这不是学生的能力所在，甚至许多数学教师对此都多有困惑。常有年轻的老师问我：“况老师，你是以什么标准来选题目的？”

当下中国的基础教育，学生学业负担是全社会共同担忧的问题，身在基层第一线的学校教师，面对背景如此复杂的社会问题，总不免无可奈何。但是话说回来，教师工作又是一种可以呈现出某种个性特征的工作，所谓“三尺讲台就是一亩三分自留地”，如果教师具有高超的教育智慧，那么学生在一个特定的小环境中自然可以有别样的收获。

把“学生还学得不够快乐”这样的问题装在心里，在教育教学过程中时时想着，对于改善自己的教学行为，总是有好处的。

我从教三十多年，编制过的试卷难以尽计，也设计过不少数学习题，总之，数学“题海”中有几滴水是从我的手里流出来的。

尽管时不时出现“心狠手辣”的偏差，但总体上说，我觉得自己还是能做到“慈悲为怀”的，至少我有信心说，如果有合理的思考时间，编制一份“既好看又好吃”的数学试卷，我还是比较有把握做到的。

所谓“好看”，那就是有一些小小的创新，有一点新意，使得核心基础知识常考常新，学生能够通过解题得到新的学习感悟。

所谓“好吃”，就是能够为大部分学生所接受，使得大部分学生能够比较充分地展现其学习水平，获得进一步发展的信心和动力。

“既好看又好吃”是一种通俗而直白的表达，换句话说，一份好的数学试卷，一道好的数学习题，应当有“出乎意料之外，却在情理之中”的意境。“出乎意料之外”造就“好看”的精彩，“却在情理之中”保证“好吃”的实在。

在上海中学，学生的数学练习卷是由备课组的教师轮流命制的，猜测是谁出的题目，在试卷偏难的时候找命题老师诉苦申冤，经常是饭后茶余师生交流的话题。

有的时候，学生做完练习就会说:“这份卷子是况亦军老师出的，因为他又来玩‘请用两种方法⋯⋯’的把戏。”这的确是近年来我在命题设计中经常使用的一种题型，其他教师很少采用，以至于成了某种标记。

记得有一次考试，我出了一道试题——请用两种方法证明点到直线的距离公式。

考试结束以后，有相当一部分平时数学成绩不错的学生觉得十分郁闷，因为他们只能找到一种方法。这种方法见诸课本，自然是情理之中，但要用另一种方法，课本上没有，上课也不曾提及，似乎在意料之外。但是经过与给出另一种证明方法的同学交流，他们发现另一种方法所涉及的，都是解析几何的核心知识，包括直线方程、两直线垂直的条件、用行列式解线性方程组、两点间距离公式，而串联这些知识点的灵魂，则是点到直线距离的概念。

因此，解决意料之外问题的知识和能力的要求，都回到了情理之中。

而且，我在讲评时进一步指出，这样的问题不仅是着眼于更为灵活地综合运用所学过的数学知识和方法，更为重要的是通过这样的问题让大家得到一种感悟：世界上有许多问题并不一定是由是非对错、优劣高下来评价的，只是观察问题的视角不同，因而处理问题的方法不同，正因为如此，我们的世界才是丰富多彩的。

这样的学习素材，应该会对学生正确的世界观的形成产生积极的影响。

在数学教育中始终谨记“却在情理之中”数学教师大多热爱数学，叹服其中人类思维的无限智慧，因此，数学教师总是希望向学生更多地展示数学的魅力。

在上海中学当数学教师，每天面对着一大批对数学学习充满着渴望的优秀学生，为他们提供更多的难度更高的智慧挑战。在上海中学的师生之间，有时就像猫捉老鼠的游戏，老鼠总有办法对付猫，猫也总能想出主意来为难老鼠。老师与学生似乎总是乐此不疲。

因此，做到“出乎意料之外”，这几乎是数学教师内心深处天赋的潜意识，它会或自觉或不自觉地转化成显现的教学行为，特别是在为自己的某个小花招暗自得意的时候，“却在情理之中”便从自己的视野中消失了。

当然，产生这种状况的另一个原因，可能是因为许多数学教师都是数学专业出身，在成为教师之前，对于数学本身有很多的感悟，而对于教育则少有切身的感受。

因此，认真考虑数学与教育，特别是数学与基础教育的关系，可能是一名数学教师从合格走向优秀的过程中不可回避的问题。

在数学教育中我们要能够始终谨记“却在情理之中”，要更多地从教育的角度去思考学生学习数学的目的和价值。

在当下，让学生适度学习，在学习中获得那些终身有益的感悟，少一些可有可无的智慧挑战，为学生的自主发展而不是在教师手把手的扶持下成长腾出一点时间和空间，只要有此心意并化作自己的行动，那就是为破解学生、教师、家长乃至整个社会都为之苦恼的“孩子是最辛苦的人”这一困局所作的努力。

要做到“却在情理之中”，可能需要一个对于数学的基本认识作为基础，即作为科学的数学与作为教育的数学并不是完全等同的。

作为科学的数学，只要是一个自洽的逻辑系统就可以成立了，它的可读性、它的实际意义等等都可以不作考虑。然而，作为教育的数学，必须要考虑与之紧密相连的受教育对象的可接受性。

例如，作为纯数学的欧氏几何，其出发点是由五条公理形成的公理体系，欧氏几何的所有结论都是这五条公理的逻辑推演的结果，这样的几何知识体系是中小学学生完全无法接受的，因此，中小学的平面几何知识必须对公理体系作适当的扩充。

所以，作为一名数学教师应当经常提醒自己，并不是所有的数学知识都是适合学生学习的，一定要学会忍痛割爱，经常要想一想，是不是一定要把自己情有独钟的数学内容都化作对学生的学习要求，否则，我们就有可能成为一名眼睛里只有数学而没有学生的对于教育缺少足够理解的教书匠。

深入研究与数学教育相关的材料是“却在情理之中”的重要保证。

认真研读教材以及课程标准是研究教育对象的一个十分重要的切入点，因为课程标准中对于数学教学内容的选择以及教学要求的规定，是对于受教育对象的认知水平的抽象概括，超出了课程标准的数学内容可能是学生无法接受的，也可能对于学生核心素养的形成并非是必须的；而教材则是数学教育工作者借助长期的经验积累对本源数学知识按可接受性标准加以改造的智慧结晶。

因此，在教学中做到心中有标准，心中有教材，是教师随心所欲而不逾矩的力量源泉。

这种对于标准和教材的关注，不仅仅是作用于诸如习题试卷等等直观呈现的教学素材，更要通过教师对于教育过程的“空间想象能力”来判断整个教学过程中对学生的要求是否都是合乎情理的。

例如，有不少数学试题或习题其呈现给学生的问题是完全符合课程标准和教材设定的教学要求的，但是，其解决过程却包含着不可回避的所谓“超纲”的内容。

因此，缺少对于尚未发生的整个教学过程的准确而精细的想象，由此造成在教学过程中形成对学生不近情理的要求就会变成一种十分自然的事情。

当然，对于课程标准和教材等教育基本要素的关注仍然只是做到“却在情理之中”的一部分，因为至少还有一个影响教育效果的重要因素是课程标准和教材难以描述和界定的，那就是学生的认知能力。

曾经有这样一种教育观点：利用数学课程标准中的知识可以求解的问题就是不超纲的。但是，知识不超纲而学生完全不能承受的数学试题和试卷比比皆是，出现这种情况其背后的原因可能就是教师在进行教育设计时完全无视学生的能力水平对教育效果的影响。

例如，在进行元素全部都是整数而且数值不大的三阶行列式计算时，学生的错误率还是比较高的，这可能是因为，一个三阶行列式计算至少有17次算术运算，要保证连续进行17次运算每次都不出错，对某些学生而言可能是不可企及的运算能力要求。

因此，数学教师一定要高度重视解决一个数学问题其整个过程对于数学能力的要求，有许多数学问题的解决过程拆开来看每一步都是符合课程标准的，其中的能力要求也是学生可以达到的，但是，所有解题要求合成为冗长的解决问题的过程，其复杂程度就远远超出了学生的控制能力，从而形成一个整体效果不理想的教学行为。

课程标准、教科书以及对于学生认知能力的经验，都是“作为教育的数学”的组成部分，它们都是对“作为教育的数学”的作用对象——学生的描述，是数学教师实现“却在情理之中”的理论背景，但是这些东西都是抽象的，不是活生生的人。

事实上，“却在情理之中”的实现，是与真实的教育对象密切相关的。

同一个学习要求，对学生甲是恰如其分的，但学生乙可能会被认为是藐视他的学习水平，而对学生丙则可能是天方夜谭。

随着关于教育公平的各种措施的实施，不同学习水平的学生同在一个课堂是一种必然的状态，只有心中永远装着每一个鲜活的孩子，不断调整教学策略，“却在情理之中”才能成为现实。

作为一名教师，心中至少要装下所有面对的几十位学生；作为一名学校的骨干教师，心中所装的那就是成百而近千的学生；而作为一名有区域引领作为的学术领头人，就需要将数以千计甚至万计乃至十万计的学生各种可能的行为进入自己的心灵，这个时候，做到“却在情理之中”将是一种教学平常。

本文选自《上海教育》2015年12B。更多内容，请参考杂志。

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