九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)

九年级数学:二次函数综合,等腰三角形存在性,动点坐标

香雪海教育

题目呈现

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax² bx--4(a≠0)的图象与x轴交于点A(--2,0)、C(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D。

(1)求该二次函数的解析式。

(2)连接BC。在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由。

(3)若点P(m,n)是该二次函数图像上的一个动点(其中m>0,n<0),求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标。

九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)(1)

解析

(1)待定系数法。将A、C坐标分别代入二次函数解析式中,联解关于a、b的二元一次方程组,得a=1/4,b=--3/2。所以该二次函数解析式为y=1/4x²--3/2x--4=1/4(x一3)² 一25/4.

(2)分别以C、D、E为等腰三角形顶角的顶点,分三种情况考虑。

当CD=CE时,过点E作EF⊥x轴于点F。如下图所示。

九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)(2)

∴EF∥y轴,

∴Rt△CEF∽Rt△CBO,

∴EF/BO=CE/CB=CF/CO。

而BO=丨yB丨=丨一4丨=4,

CE=CD=xC一xD=8一3=5,

CB=√(BO² CO²)=√(4² 8²)=4√5,

∴EF=5/(4√5)×4=√5。

∴yE=一√5。

CF=5/(4√5)×8=2√5。

∴OF=8一2√5=xE。

∴E(8一2√5,一√5)。

当DE=DC时,连接DB。如下图所示。

九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)(3)

在Rt△ODB中,OD=3,OB=4,由勾股定理得DB=5。

而DE=DC=OC一OD=8一3=5,

可见DE与DB完全重合,点E与点B重合,故E(0,一4)。

当ED=EC时,过点E作EG⊥x轴于点G。如下图所示。

九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)(4)

则DG=GC(等腰三角形三线合一性质)。易知Rt△CEG∽Rt△CBO,得EG/BO=CG/CO。其中CG=1/2CD=1/2(OC一OD)=1/2×(8一3)=2.5。

∴EG=2.5/8×4=5/4.∴yE=--5/4.

OG=3 2.5=5.5=11/2=xE。

∴E(11/2,--5/4)。

(3)过点P作PH丄x轴于点H。如下图所示。

九年级数学二次函数几何最值(九年级数学二次函数综合)(5)


S△BDP=S直角梯形OBPH一SRt△PHD一SRt△BOD=1/2[4 (一n)]m一1/2(m一3)(一n)一1/2×3×4=2m一3/2n一6。

∵点P在该二次函数图象上,

∴n=1/4m^2一3/2m一4。

∴S△BDP=2m一3/2(1/4m^2一3/2m一4)一6=--3/8m^2 17/4m=一3/8(m一17/3)^2 289/24。

∴当m=17/3时,S△BDP最大=289/24。此时点P(17/3,一161/36)。

此题对计算能力要求较高。

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