古人的数学思维方式（张维慎象牙算筹）

“它的文化影响是比较大的，”陕西历史博物馆科研处副处长张维慎研究员这样介绍这28枚象牙算筹，“它的算法在世界上是比较先进的，是古代的重要科学技术成就。”

陕西历史博物馆科研处副处长张维慎

1983年11月18日，陕西省旬阳县北部的佑圣宫后坪的变电所施工时发现了一座汉代墓葬，墓中出土了包括铜器、货币、长方形石砚等在内的二百多件文物，其中还有令人震撼的28枚整齐的象牙制算筹。这座汉墓被命名为佑圣宫1号墓，推断时间约为新莽至东汉初年，墓主人留下的28枚精致的象牙算筹与其他文物一同保存在旬阳博物馆。1991年，陕西历史博物馆开放，在筹建之时征集全省文物，这一套珍贵的象牙算筹作为重要的一组文物辗转来到陕西历史博物馆。从此，28根粗细均匀、长短一致的乳白色细棒，在这里静静地展示着古人的智慧。

象牙算筹

算筹其物

收藏于陕西历史博物馆的象牙算筹长13.5厘米，直径0.4厘米，两端齐整，由于是象牙质地，呈乳白色，文保人员把它们封护于有机玻璃保护盒中，以保持适宜的湿度。因“骨质文物脱水快的话，容易变形和开裂，”张维慎解释说，“你看咱们平时的家具因不适应环境的变化而开裂，是最明显的。”

保护展出中的象牙算筹

据张维慎介绍，算筹的使用时间较早。在春秋战国时期就有文献记载，使用已相当普遍。1954年湖南长沙左家公山的战国时期楚墓中出土的竹算筹，是目前为止考古发现的最早的算筹实物。

长沙左家公山出土的战国算筹

算筹是在古代占卜所用的长短不一的蓍草基础上发展而来。汉许慎《说文解字》载：“筹，矢壶也，从竹，寿声”，“筭，长六寸。计历数者，从竹，从弄。言常弄乃不误也”。“筹”原指投壶所用的箭，“算”在汉代作“筭”，读音相同，算筹指的便是用于计算的竹棒。《汉书·律历志》记载：“其法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”汉代六寸约为现在的13到14厘米，目前考古发现的汉代算筹与之一致，南北朝以后长度逐渐减短，但是目前考古尚未发现以完整的271根为一个单位的算筹。

蓍草

“当时在世界上其他国家还没有这么便利的方法”

至明代算盘普及前，算筹在计数中被广泛使用。运算时需要先在案上布出筹码，数字1-9分别有纵、横两式摆法。

在表示多位数时，用算筹表示的各位数字横纵相间，从位高到位低从左至右横列，与如今的数字书写习惯相同。个位在最右，用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。例如：

计算时，加减法都从左到右，逐位相加或相减；乘除则用口诀（九九表）进行运算，如今数学常用的计算，加减乘除，甚至计算立方，开平方都可以使用算筹进行。“东汉时期的数学著作《九章算术》中，工程建设的应用计算要算工程量，就要算这个立方，”张维慎说，“在算盘使用之前，都是用这个算筹计算的。”

青花算盘

算筹在计算时用筹码表示1至9的数字，在数值的表示中遵循十进位制，“那个十进位制是当时最先进最科学的，”张维慎特意强调了算筹计算时十进制的重要性，“当时在世界上其他国家还没有这么便利的方法。”

希腊用字母表示一到一万的数字，“但是这是不够的，”张维慎解释道，“像罗马的数字系统它是没有进位制的概念的。”有进位制的玛雅人使用的是20进位制，古巴比伦人使用60进位制，“20进位制需要1到19这样19个数字才能表示，中国的十进位制就比较简单。”他说，“中国古代之所以在数学方面取得卓越的成就，与这个十进位制的关系是非常密切的。”

古巴比伦计数石板

“放在算袋里随身携带”

“算筹的出土还是比较多的，我所知道的起码有十几处。”除陕西历史博物馆收藏的这组保存完整的象牙算筹外，张维慎列举了其他地区出土的几处关于算筹的重要发现。

1971年8月中旬，陕西省千阳县的一座西汉墓中出土了骨质算筹。墓内合葬男女二人，算筹与带钩同出于男骨架腰胯部。墓中随藏器物较少，且较为粗糙，多是一般装饰品和日常生活用具，唯独算筹置于算袋中珍贵地系在墓主人腰部。这些算筹为兽骨质，大多断残，有磨制痕迹。经粘接修补后，计有完好者21根，断残不能对接起来的10根，一共31根。算筹最长者为13.8厘米，大多为13.5厘米，最短者为12.6厘米。每根筹棍两端齐整，粗细大致均匀，约为0.3厘米。这一发现确认了汉代算筹的携带方式，“所以汉代会把算筹放在算袋里随身携带，”张维慎强调，“说明这一点，是很重要的。”墓中算袋的发现表明，汉代已有算袋，填补了文献记载的空白。

千阳出土算筹

此外，算筹在高等级墓葬中也有发现。1983年发现于广州市北部象岗山上的第二代南越王墓，是岭南地区发现的规模最大、出土文物最丰富、年代最早的一座彩画石室墓，是中国汉代考古中的重大发现之一。其中也出土了一组象牙算筹。这组象牙算筹出于一漆盒内，但出土时已经全碎，部分已压成粉末状。从现状观察，算筹在盒内堆置三层到四层，总数约200支，呈细长条形，残长12—13厘米。

南越王墓出土算筹

除竹制、骨制外，1982年陕西西安三店村发现的西汉墓葬出土了铅制算筹，共有20根，但保存完整的只有两根。

是职业象征还是愿望？

由于佑圣宫1号墓中没有明确的文字记载，无法准确判断这28枚算筹的主人姓甚名谁，地位如何，但张维慎介绍，根据陪葬物的品类推断，这名墓主人可能是一位“家道富有、爱好武艺并长于书算的下层官吏”。

“能拥有象牙算筹者一般地位都不会太低，”张维慎说，“起码家境还比较殷实。”他推测,“他可能从事这方面的工作，所以他也许有这种愿望，想要拥有这种象牙算筹。”

张维慎认为，算筹的出土可能与墓主人的职业或爱好有关。古代的“上计”制度中需要对地方财政等进行管理，因此设有计算汇报地方财政收支的地方官员。“就相当于专业的会计师，但是不能与他们完全等同，”他说，专业人员的计算中需要的算筹数量更多，几十根无法满足，“出土的数量不够的话，说明他进行的只是简单的运算，或象征他就是做这方面的职业。”

NHK大河剧《平清盛》中计算政府钱粮收支

（虽然摆放有待考证，但是的确需要大量算筹进行计算）

已出土的算筹质地有竹制、骨制、铅制、象牙制、银制等，不同质地的算筹某种程度上也反映了墓主人当时的地位。南越王墓、长沙马王堆三号墓都出土过象牙质地的算筹，“而南越王墓、马王堆三号墓的墓主，地位都比较高，所以可能在这方面有礼制上的反映，”张维慎解释，“但是光从这个也不能完全决定地位的高低，只是说一般能反映的。”也有比旬阳的佑圣宫1号墓等级更高的墓葬，但出土的却是木制算筹，对此张维慎推测，旬阳的象牙算筹的出现可能更多地要从墓主人对生前职业的钟爱来解释。

陕西西安三店村西汉墓葬中发现的铅制算筹

虽然从现有的资料已经很难寻觅这座墓主人在历史长河中的踪迹，但他留下的28枚象牙算筹却是古人智慧的珍贵佐证。中国古人伟大的科技成就源于古老的数学智慧，在精巧的算筹上依然熠熠生辉。

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