三角形的重心的性质及证明（三角形重心的两个重要拓展结论）

1.三角形重心坐标为三个顶点坐标的平均值，即在△ABC中，A、B、C的坐标分别为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形的重心坐标为

这个定理的证明在平面直角坐标系中是比较容易的。

D是BC中点，因此D的坐标可以计算出。

然后根据AO：DO=2：1，即可以计算出O点的坐标。

2.三角形重心到三个顶点距离的平方和最小

在△ABC中，P是三角形内一点，求证：当P是三角形重心时，PA² PB² PC² 取得最小值。

谈到距离平方之间关系的证明，初中数学较少遇见这类问题。使用高中解析几何中的两点间距离公式比较容易解决，因为两点间距离的平方表达式中已经去掉了根号。

设A、B、C的坐标分别为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），设P的坐标为（x，y），由两点间距离公式知：

|PA|²=（x- x₁）² （y-y₁）²

|PB|²=（x- x₂）² （y-y₂）²

|PC|²=（x- x₃）² （y- y₃）²

因此|PA|² |PB|² |PC|²

=（x- x₁）² （y-y₁）² （x- x₂）² （y-y₂）² （x- x₃）² （y- y₃）²

= 3x² - 2x（x₁ x₂ x₃） （x₁² x₂² x₃²）

3y² -2y（y₁ y₂ y₃） （y₁² y₂² y₃²）

因为（x₁，y ₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）都是定值，且x和y独立，因此求这个式子的最大值，只需要分别求

3x²-2x（x₁ x₂ x₃）

3y²-2y（y₁ y₂ y₃）

这两个式子的最大值即可。

容易看出，这是两个分别以x和y作为参数的朝上开口的抛物线。

抛物线y=ax² bx c在x取对称轴坐标x=-b/2a时，取最小值。

即x=1/3 (x₁ x₂ x₃)，y=1/3（y₁ y₂ y₃）时，|PA|² |PB|² |PC|²最小。

这个点（x，y）即是三角形重心的坐标。