二十一世纪数学图形题（一道1985年巴尔干半岛的数学竞赛题）

一道1985年巴尔干半岛的数学竞赛题

如图∠BAC=120°， AD和CE是角分线，交点为I，DE和BI的交点为Z， 求∠DAZ

解：在求解之前证明一个引理，如图：

如图可知：

BE/AE=BF/AS=asinα/b.sianα=a/b, （1）

即角分线分割对边的比例与其两边成比例，该定理的逆定理也成立，即满足比例相等的分割线一定是角分线。（推理1）

此外还需要证明一下对角线的公式，如下图，利用角分线分成的两个三角形面积等于三角形ABC的面积有：

若AD为x, 则：

cx/2sinα bx/2sinα=bc/2 sin2α

而sin2α=2sinαcosα

所以AD=x=2bc·cosα/(b c)

此题有：

因为A=120°，由此得：

这里还需要证明一个关系，如图:

利用正弦定理有：

BD/sinα=c/sinβ

DC/sinα=b/sin(180°-β)=b/sinβ

BD DC=b, BD/c=sinα/sinβ

由此推出：

再根据上面已经证明的：

所以：

上式的恒等利用了（1）的证明结果。

根据这个等式，我们按照上面得出的推理（1）可知DE是∠ADB的角分线，点Z是△ADB的内心（因为BI是角分线），因此∠DAZ=30°。