三角奥数公式（让我们一起回归初心）

三角函数是基本初等函数之一，常见的三角函数包括正弦函数（sinθ）、余弦函数（cosθ）和正切函数（tanθ）。现在高中数学一般只谈论这三种函数，其实还有三种函数，分别是它们的倒数，余切函数（cotθ=1/tanθ）、正割函数（secθ=1/cosθ）、余割函数（cscθ=1/sinθ）。基本公式为两角和（差），积化和差、和差化积，半角、倍角公式，万变不离其宗，只要熟练、合理的运用这些恒等变形，便可顺畅的解题。

例题： 化简： (1 sinθ cosθ)/(1 sinθ-cosθ) (1-cosθ sinθ)/(1 cosθ sinθ)

分析：本题只涉及正、余弦函数，有2个分式，可以分块来做，进行化积、约分；也可以先通分成一个整体分式，再进行化积、约分。由 1-cosθ 、 1 cosθ 可以联想到半角公式，不妨一试。

为方便表述，以下令α=θ/2 A=(1 sinθ cosθ)/(1 sinθ-cosθ) B=(1-cosθ sinθ)/(1 cosθ sinθ)

解法Ⅰ：A、B分别化简

将 sinθ=2sinαcosα， cosθ=2cos²α-1=1-2sin²α 代入A得：

A=(2cos²α 2sinαcosα)/(2sin²α 2sinαcosα)

=cosα/sinα

=cotα

同理可推出 B=tanα ，所以:

原式=cotα tanα

=(sin²α cos²α)/sinαcosα

=2/sin(2α)

=2cscθ

解法Ⅱ：原式直接通分，再化简

原式=[(1 sinθ-cosθ)² (1 sinθ cosθ)²]/[(1 sinθ)²-cos²θ]

=[2(1 sinθ)² 2cos²θ]/(2sin²θ 2sinθ)

=2/sinθ

=2cscθ

解法Ⅲ：利用半角公式

因为 tan(θ/2)= (1-cosθ)/sinθ= sinθ/(1 cosθ)

由合分比原理可得：

tan(θ/2)=(1-cosθ sinθ)/(1 cosθ sinθ)

原式=cot(θ/2) tan(θ/2)=2cscθ

解法Ⅳ：将原题中的正、余弦函数先化成正、余切函数，再行化简

将A分子、分母同时除以sinθ：

A={[(1-cosθ)/sinθ] 1}/{[(1 cosθ)/sinθ] 1}

=(tanα 1)/(cotα 1)

=tanα

因此，原式=cotα tanα=2cscθ

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