高中数学立体几何硬解点法（不用仰望数学大神）

上周日，一位高三的同学过来问我，老师：这道题出的也太吓人了，一共三个点，还全是动点，然后给出的斜率和离心率能有什么关系？简直是毁三观啊！我看完题后，问他：“答案是不是D？”“老师，你必须是做过啊！记答案也是蛮厉害的！”我回答：“当然不是记答案，这个题心算完全可以！”

圆锥曲线的问题中隐含着很多定值，记住这些定值的相关结论，很多问题都可以直接秒杀。由于圆锥曲线的形成是在两个倒圆锥上做截面而形成的曲线，所以圆也是圆锥曲线的一份子，今天我们把圆，椭圆和双曲线放在一起，研究一下他们中间的定值问题。

小妙招：（这里可以把圆看成a=b的椭圆，所以只要记住椭圆的结论，圆的结论就自然记住了）

小妙招：（这里可以利用图像看两直线的斜率的正负，发现椭圆中两条直线的斜率总是一个正一个负，而双曲线中两条直线的斜率总是同时正或同时负，故而它们的定值会差一个负号，记住椭圆的定值后，自然双曲线的定值就呼之欲出了！）

有了这三个结论，就到我们大显身手的时候了。

先看文章开头的这道题:

分析：这道题完美符合了这个定值结论，再套用离心率的公式，求出答案就是一瞬间的事儿。

因为这两个公式，不需要依靠a和c的关系，只依靠a与b的关系就足够求出离心率了。

分析：此题和上一题比较稍有变形，但是难度并不大，这道题只需要把已知条件中的tan值换成斜率即可，注意：tan∠PF₂F₁的值虽然是2，但是它对应的直线的斜率应该是-2，否则计算时容易出错！

分析：此题要用到该结论的退化版，点A和点B已经是双曲线的左右顶点，不再是动点，所以直线PA和PB的斜率之积依然是定值。那么，这道题的取值范围只需要求出k3的范围就可以。由图像可知，当直线PO平行于x轴时斜率是0，当直线PO接近于双曲线的渐近线时，斜率达到最大，此时斜率是b/a，并且两个时刻都是不能取到相等的，所以答案都是开区间，代入计算即可得出正确选项.

分析：此题利用椭圆中的定值结论，同时此题也是该结论的退化版，M和N分别是左右顶点，但是不影响定值，可以求出直线PM和直线PN的斜率之积，（用a和b表示）。对于|k1| |k2|最小值为1的问题，结合均值不等式可以解出a与b的关系，进而求出离心率。

分析：此题两条直线的斜率用m和n表示，通过结论能求出mn是定值，把题中的mn都用AB表示（需要用到对数的加法），然后令a/b=t，得到关于t的函数，在利用导数工具求出该函数取最小值时t的值，进而求出离心率。

分析：根据本讲的结论可知，直线QA1和直线QA2的斜率之积是定值，为-5/9。由于平行四边形OPQR，所以直线OT和直线OS的斜率之积也是-5/9，可以依题意设其中一条直线（OS）的斜率是k1，通过直曲联立解出S点坐标，再利用椭圆的对称性，直线OT就无须再次进行联立，只需用k1去表示k2，把题点坐标中的k2，相应的全部替换成k1即可，再利用两点间距离公式可以求出答案。

记住了以上三个结论，这三组数并不白记，在圆锥曲线关于弦的中点的问题中，这三个数值还会再次呈现，由此，我们进入下一组定值问题！

看！这三个结论和之前的三个结论在数量上一模一样，所以记忆起来相对也方便。这里对于证明不详细赘述，提供两个证明方法：

1. 第一种根据点差法可以轻松证明；
2. 第二种利用“中心对称，斜积定值”，做三角形的中位线也可以证明，并且这种方法证明起来比较简洁，可以更好地体现圆锥曲线的美感。

希望小伙伴们自己独立完成其证明工作！

事实上，当圆锥曲线的弦长逐渐变小，最后退化为一个点的时候，此时的割线就退化成切线，那么，关于切线的斜率自然也会有相应的定值结论，并且在数量上与之前完全一致。

圆切线与切点半径的斜率之积为定值，且定值为-1

椭圆切线与切点和中心连线的斜率之积为定值。并且是定值是-b^2/a^2

双曲线切线与切点和中心连线的斜率之积为定值。并且是定值是b^2/a^2

以上三个结论很好理解，无须证明！

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