高考数学三角形解题（高考数学秘笈四步解题法23）

冯跃峰有些数学问题，既不便于在条件中构造结论，又难于在结论中构造条件这时候，需要同时在条件、结论中构造出相同的结构我们称之为由条件、结论构造“第三方”，今天小编就来聊一聊关于高考数学三角形解题?接下来我们就一起去研究一下吧!

高考数学三角形解题

冯跃峰

有些数学问题，既不便于在条件中构造结论，又难于在结论中构造条件。这时候，需要同时在条件、结论中构造出相同的结构。我们称之为由条件、结论构造“第三方”。

这种构造是从条件、结论双方入手，构造出一个新的数学对象。而这个新对象则与条件、目标都较为接近，从而达到两者的转化和统一。

我们先看两个简单的例子。

例1、设的定义域是[-1，4]，求的定义域。

【分析与解】本题条件中的函数是，目标中的函数是f（3x-1）。

如果由条件构造目标，或者由目标构造条件，都是比较困难的。因此，我们需要通过“第三方”来过渡：先求第三方f（x）的定义域。

所谓f（x）的定义域，可狭义地理解为：什么范围内的数才能进行“f”运算。

与此相近的条件是，的定义域是[-1，4]，同样可狭义地理解为：[-1，4]内的数x才能进行“p”运算。

由于f作用在上，只要知道在什么范围内变化，便可什么范围内的数才能进行“f”运算。

为此，令t=，由x∈[-1，4]，得

t=∈=。

这表明，只有t∈，f（t）才有意义。

于是，f（x）的定义域是。

现在瞄准目标，考虑x在什么范围取值，g（x）=f（3x-1）才有意义。

因为f（3x-1）是对“3x-1”进行“f”运算，根据上述f的定义域，

可知3x-1∈。

由此求得x的范围，便是g（x）=f（3x-1）有意义的x取值范围。

于是，由3x-1∈，

得x∈，

故g（x）=f（3x-1）的定义域为。

具体解答如下：

【新写】因为f（）的定义域是[-1，4]，即x∈[-1，4]时，f（）才有意义。

令t=，由x∈[-1，4]，

得t=∈。

这表明，只有t∈，

f（t）才有意义。于是，

f（x）的定义域是。

进而，要使f（3x-1）有意义，

必须3x-1∈。

由此求得x∈，

故g（x）=f（3x-1）的定义域为。

我们再看一个例子。

例2、设（《学习与评价》P52）。

【分析与解】目标中的对数中以6为底，条件中的对数以12为底，如果采用“由条件构造目标”，可将换成以6为底的对数；

如果采用“由目标构造条件”，则可将对数换成以12为底的对数。但这两种方法都很繁。

因此，我们想到将条件和目标都换成第三方：以10为底的常用对数。

于是，目标变为

条件变为。

但这两者仍无法发生直接联系，继续用“第三者”作为纽带来沟通它们的将条件和目标中的对数都用lg2、lg3表示。

于是，目标变为

条件变为：

至此，采用分割目标的方式，建立如下解题主线：

——→ f（a）（常数）。

当前状态含有两种结构：lg2、lg3，可利用条件消去一种结构：将lg2用lg3表出，期望当前状态消元后分子分母可以约分。

于是，由条件：，

得

代入当前状态，有

。

具体解答如下：

【新写1】由，得

因为3lg3≠0，所以a≠0，

所以

于是，

。

值得指出的是，“第三方”的选择是颇有讲究的。选择不当，就会导致解题过程冗长。

比如上面的解法，选择10为底的对数作为第三方，解题就绕了一个“大弯”。究其原因，是因为10与两个“底”12、6的联系并不紧密。

如果以3为底的对数作为第三方，则两个底12、6都含有因子3，可使相关运算简化。思路与前一方法一致，但计算简单得多。

具体解答如下：

【新写2】因为

，

所以。

所以

。

有趣的是，如果选择“2为底”的对数作为第三方，计算更简单。

解答如下：

【新写3】因为

，

所以。

所以

。

解法2是原书中附的解答，但显然解法3比解法2更简单，不知道是否有读者自己得到了这一解法。

下一个问题与之类似，读者自己先仿照上面的解法，看能否也给出两个不同解法。

例3、设，

。

【分析与解】同上理由，我们先选择10为底的对数作为第三方，则

目标变为：

条件变为：。

这两者仍无法发生直接联系，再用“第三方”：lg2、lg3（其中略去lg5，是因lg5=1-lg2）沟通它们的联系。于是，

目标又变为：

条件也变为：。

现在分割目标，建立如下解题主线：

—→ f（a，b）（常数）。

由条件，可将lg2、lg3用a、b表示，问题顺利获解。

具体解答如下：

【新写1】由，

得，所以。

由，得

。

联立上式，解得

所以

若注意到条件中含有以3为底的对数，且含有3的因子或3的幂，从而宜将另一个条件及目标也换成3为底的对数（同样的理由，也可取2为底的对数、5为底的对数，从略）。这样，

目标化为：

条件变为：

由此可见，解题的本质要求，是将用a、b表示。

这只需在条件中构造“”即可。

具体解答如下：

【新写2】

于是，

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