等腰直角三角形的八大题型（活用等腰直角三角形的性质解题）

等腰直角三角形是一种特殊的三角形。具有两直角边相等，两锐角相等，斜边中线角平分级垂线三线合一等性质。今天我们就利用它的性质来解一道题。

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是边AC上一点，点D是BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF，当AF=DF时，求证：DC=BC。

我们一起来分析一下这道题。

从图中我们可以看到，因为RtΔABC是等腰直角三角形，要证明DC=BC，只需证明DC=AC就可以了。

而在ΔCFD和ΔCFA中，AF=DF，CF=CF，如果能证明∠AFC=∠DFC，就可证明两个三角形全等，DC=AC。

而∠AFC=∠AFE ∠CFE，AF⊥BD，∠AFE=∠AFD=90°，只需证明∠EFC=45°，就可以得到∠AFC=∠DFC=135°。

于是，我们就要想办法把∠EFC构建在一个等腰直角三角形中。从图中可知有两种做辅助线的方法：

一是如图二，过点C作CG⊥BD于点G； 虽然能很容易判明AF∥CG，∠ACG=∠EAF=∠CBE，但无法证明别的关系，不能确定RtΔCGF是等腰直角三角形，∠EFC=45°。

第二种作辅助线的方法如图三，过点C作CG⊥CF，交BD于点G。

因为CG⊥CF，所以∠FCG=90°，∠ECG ∠FCE=90°

由已知条件知∠ACB=90°，∠ECG ∠GCB=90°

∠FCE=∠GCB

因为RtΔAFE与RtΔBCE构成8字模型，所以∠EAF=∠CBE

在ΔACF和ΔBGC中

∠EAF=∠CBE

AC=AB

∠FCE=∠GCB

所以ΔACF≌ΔBGC，CF=CG

因为CG⊥BD，所以ΔCGF为直角三角形

又因为CF=CG，所以ΔCGF为等腰直角三角形，∠EFC=∠FCG=45°

所以∠AFC=∠AFE ∠EFC =135°，所以∠DFC=135°

在ΔACF和ΔDCF中

AF=DF

∠AFC=∠DFC

CF=CF

所以ΔACF≌ΔDCF，CD=AC

所以CD=BC

这是我对这道题的解析，希望能对朋友们有所帮助，更期待得到您更简捷的方法。