费马点求最值问题的解法（距离之和最小问题的原型）

如图，在正方形ABCD，边长为a，E、F是正方形内的两个动点，求AE BE EF CF DF的最小值。

这道题如果没有三角形费马点的证明经验，个人感觉，很难做得出来。但是如果之前了解过三角形的费马点，就会发现这个形式与三角形的费马点非常相似。求解过程如下：

将△ABE绕点B逆时针旋转60°至A’BE’，于是AE=A’E’。同时，△BEE’是正三角形，因此BE=E’E。

同理，将△CDF绕点C顺时针旋转60°至CD’F’，于是DF=D’F’。同时，△CFF’是正三角形，因此CF=FF’。

于是有：

AE BE EF CF DF=A’E’ E’E EF FF’ F’D’

A’和D’两点的位置是固定的，E和F两点是任意移动的。因此，一定会有一种情况发生：

A、E’、E、F、F’、D’共线

此时AE BE EF CF DF的最小值等于A’D’=（√3 1）a