迭代法计算公式详解（根号数的迭代毕氏螺线）

上一个作品，我们是在数轴上依次画出表示根号2、根号3、根号4、根号5……根号10的点：

那么，类似地，可以利用勾股定理（毕达哥拉斯定理），作出长为根号2、根号3、根号4、根号5……的线段：

源文件获取方式，请见文末

有人称之为毕氏螺线。毕氏，即毕达哥拉斯。也有人称之为根号数的迭代。

前一个叫法好理解，而后一个叫法，则与其制作有关。

那么，是怎么制作的呢？

迭代

何为迭代？

每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。

而毕氏螺线是怎么得来的？我们先来看下图中的点B2,B3,B4是怎么得来的。

将点B1作为起始点：

点B4,B5,B6,……也可以依照此规律作出来。

而作出这些点的过程，就是不断地对上一个点进行相同操作（“垂直”，“长为1”）的重复过程，即为“迭代”。

在GeoGebra中，有迭代（Iteration）指令：

迭代( <表达式>, <变量>, <起始值>, <迭代次数> )

▪ 例：

1. 将点B以点A为中心，逆时针旋转90度，得到第一个新点；
2. 再将此点以点A为中心，逆时针旋转90度，得到第二个新点；
3. 又将此点以点A为中心，逆时针旋转90度，得到第三个新点；

也就是迭代三次，即：

迭代(旋转(A, -90°, P), P, {B}, 3)

其中，起始值需用花括号{ }括起来。

由上图可见，只得到一个新点——点C。点C为第三个新点，也就是最后一次迭代所得结果。

那么，如果需要显示迭代过程中所产生的点，应该如何做呢？

在GeoGebra中，有相应的指令——迭代列表（IterationList）指令：

迭代列表( <表达式>, <变量>, <起始值>, <迭代次数> )

迭代列表指令，返回的是一个列表，其中，第一个元素为起始值，其后的元素为每次迭代所得到的结果。

▪ 以上面的例子为例，如需显示迭代过程，即：

迭代列表(旋转(A, -90°, P), P, {B}, 3)

需要注意的是：起始值也需用花括号{ }括起来。

对迭代、迭代列表有了初步认识后，我们来看看怎么用迭代列表作出毕氏螺线中相关的点。

至于需要动态显示，只需让迭代次数是一个变量即可，我们用滑动条n来表示，即：

n = 滑动条(1, 18, 1)

当然，n的最大值并非必须是18，也可以再大一些。

再作出点A、点B：

A = 交点(x轴, y轴)

B = (-1, 0)

备注：滑动条（slider）、交点（intersect）、x轴（xAxis）、y轴（yAxis）。

为了保证“垂直”与“长为1”，有多种做法。这里介绍三种方法。

【法一】

1. “垂直”——旋转90度；
2. “长为1”——除以自身的长度。

即：

迭代列表(P 向量(P, 旋转(A, -90°, P)) / 距离(P, 旋转(A, -90°, P)), P, {B}, n)

备注：向量（vector）、旋转（rotate）、距离（distance）。

【法二】

1. “垂直”——旋转90度；
2. “长为1”的向量——单位向量。

即：

迭代列表(P 单位向量(向量(P, 旋转(A, -90°, P))), P, {B}, n)

备注：单位向量（unitvector）。

法一、法二是着眼于点，由点旋转90度，保证垂直。

若是着眼于线段，那么，为保证垂直于线段，则可取其法向量。

【法三】

“垂直”，且“长为1”的向量——单位法向量。

即：

迭代列表(P 单位法向量(线段(A,P)), P, {B}, n)

备注：单位法向量（unitperpendicularvector）。

取以上任意一种方法构造点均可，并命名为l1。

多边形

有了这些点，即 l1；则可构造出相应的直角三角形。即：

l2 = 序列(多边形(A, 元素(l1, k), 元素(l1, k 1)), k, 1, n)

备注：序列（sequence）、多边形（polygon）、元素（element）。

关于序列指令的解读，请见链接。

文本

先标出直角边AB的长为“1”：

利用文本工具

而其他长为1的直角边，则可利用序列指令标出“1”，即：

l3 = 序列(文本("1", 中点(元素(l1, k - 1), 元素(l1, k)), true, true), k, 2, n 1)

而根号2、根号3、根号4……等文本的显示，也同样可利用序列指令，即：

序列(文本("\sqrt{" k "}", 中点(A, 元素(l1, k)), true, true), k, 2, n 1)

但是，发现文本的位置并不太妥当。

还记得，《文本进阶》中的“放大招”吗？

此刻，即可派上用场，操作如下：

引入点C来调整文本位置

至此，拉动滑动条n，即有开头演示的效果。

结语

有重复性操作，不仅可以交给序列，还可以交给迭代或迭代列表。

打个比方：

• 如果是已知通项公式，即知道第n项与n之间的关系，则可使用序列。
• 如果是已知递推公式，即知道第n项与其前一项或几项的关系，则可使用迭代或迭代列表。其中，如需显示迭代过程的，则用迭代列表；而只需最终的迭代结果，则用迭代。

在GeoGebra中，除了序列指令、迭代与迭代列表指令，还有一大指令——映射（zip）指令，也是可以使得制作更方便、更高效！映射指令，主要是在批量构造对象、处理对应关系上，有极大的优势。

• 批量构造对象的例子，请参照链接的第二部分。
• 在处理对应关系上，请参照链接。

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如需作品源文件，请回复：毕氏螺线。

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