函数最小值的几何定义（解剖麻雀函数的单调性ABC）

本文主要内容，介绍基本函数的单调性、函数单调性的性质及函数单调性的判断和单调区间的求解。

• 函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

• 在定义域范围内的某个区间D上，当自变量增加而函数值随之减小，则称之为单调增函数，反之称之为单调减函数。增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。单调增函数和单调减函数统称为单调函数。

• 不是所有函数都是单调函数。如果说该函数f(x)在某个区间D上具有单调性，则将区间D称作函数的一个单调区间。

常数函数y=C

• 对单调性的函数而言，它可能只有一个或多个单调增区间，也可能只有一个或多个单调减区间，还可能既有一个或多个单调增区间和单调减区间。

• 1.常数函数y=C,不是单调函数，没有单调区间。

• 2.一次函数y=ax b(a≠0)定义域为R，是单调函数，单调性取决于a的正负。当a>0时为单调增函数，单调增区间为(-∞， ∞）；当a<0时为单调减函数，单调减区间为(-∞， ∞）。

• 3.二次函数y=ax^2 bx c（a≠0）定义域为R，具有单调性，有单调区间，取决于a的正负和对称x0=-b/2a的值。当a>0时，区间(-∞，-b/2a）上为单调减区间,(-b/2a， ∞)上为单调增区间；当a<0时，区间(-∞，-b/2a）上为单调增区间,(-b/2a， ∞)上为单调减区间。

• 4.幂函数y=x^a，其单调性要根据a的取值来讨论。如a=2时，y=x^2是二次函数的一种情形，单调性符合二次函数性质；当a=3时，y=x^3则在整个实数范围内为单调增函数，单调增区间即为(-∞， ∞)。

• 5.指数函数y=a^x（a>0且a≠1）定义域为R，其单调性取决于a的取值。当a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减。

• 6.对数函数y=loga(x）（a>0且a≠1）定义域为定义域是（0， ∞），单调性取决于a的取值。当a>1时，在定义域上为单调增函数；当0<a<1时，在定义域上为单调减函数。

• 7.反比例函数y=k/x(k≠0）定义域要求x≠0，其单调性取决于k的正负。当k>0时，函数在（-∞，0），（0， ∞）上同为减函数；当k<0时，函数在（-∞，0），（0， ∞）上同为增函数。

• 8.三角函数类型比较多，如正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=ctgx、正割函数y=secx、余割函数y=cscx、正矢函数versinx=1-cosx、余矢函数coversinx=1-sinx、半正矢函数haversinx=(1-cosx)/2、半余矢函数hacoversinx=(1-sinx)/2、外正割函数exsecx=secx-1等。前四种常见三角函数的单调性如下：

对于y=sinx，增区间为[2kπ-π/2，2kπ π/2],减区间为[2kπ π/2，2kπ 3π/2]。

对于y=cosx，增区间为[2kπ-π，2kπ],减区间为[2kπ，2kπ π]。

对于y=tanx，增区间为[kπ-π/2，kπ π/2]。

对于y=ctgx，减区间为[kπ，kπ π]，以上k∈Z。

• 1.f(x)与f(x) C（C为任意常数）具有相同单调性；

• 2.f(x)与 g(x) = C*f(x)在 C>0 时有相同单调性，当 C<0 时，具有相反单调性；

• 3.当f(x)、g(x)都是增函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增函数；若两者都恒小于零，则为减函数；

• 4.当f(x)、g(x)都是减函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为减函数；若两者都恒小于零，则为增函数；

• 5.两个增函数之和仍为增函数，如y=x^2 2^x；增函数减去减函数为增函数,如y=x^2-2^(-x)；

• 6.两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。

• 7.对复合函数y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定，并符合“同增异减”判断规律。

• 1.定义法

根据函数单调性的定义，判断函数单调的步骤为：

①在区间D上，任取x1,x2，不妨令x1<x2;

②作差f(x2)-f(x1)；

③对f(x2)-f(x1)的结果进行变形处理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等方法)；

④确定符号f(x2)-f(x1)的正负；

⑤下结论，若f(x2)-f(x1)>0,则为增函数，该区间D为增区间；若f(x2)-f(x1)<0,则为减函数，区间D为减区间。

• 2.导数法

如果函数y=f(x)在区间D内可导，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

对于上述两种方法，定义法一般主要用于判断或证明，导数法不仅可以判断函数的单调性，还可以求解函数的单调区间。导数是求解函数单调区间的重要方法。