数学的准确性论文(浅谈现代数学公理)

一、评估一个演绎论证,通常有三个维度,即:有效性、可靠性及说服力,今天小编就来聊一聊关于数学的准确性论文?接下来我们就一起去研究一下吧!

数学的准确性论文(浅谈现代数学公理)

数学的准确性论文

一、评估一个演绎论证,通常有三个维度,即:有效性、可靠性及说服力。

  • 有效性就是一个演绎论证当且仅当其前提必然推出或蕴涵其结论。也就是说,如果前提全部为真,其结论不可能为假。我们称这样的论证是有效的和保真的。有效性是用来评估演绎论证的一个标准。论证是否有效从来不是程度问题,要么完全有效,要么根本无效。不可能存在“某种程度上有效。尤其是更加需要注意的是:演绎论证是否有效完全是一个结论是否可以从前提必然推出的问题;前提和结论各自的“实际”本身真或假,与论证的有效性基本无关。因此,一个有效的演绎论证可能有一个或更多假前提,但有一个真的结论。例如:所有狗都是鱼→所有鱼都是哺乳动物→所有狗都是哺乳动物。该论证是一个有效论证,但含有一个“所有狗都是鱼”的假前提。因此,最好把有效性看作仅是论证的前提和结论之间的一种逻辑关系,只与论证形式有关,而与其中构成论证的语句的“实际真与假”基本上是不相干的。
  • 可靠性就是一个演绎论证当且仅当它是有效的,且它的所有前提都是真的。有效性和真前提是可靠性的两个必要条件。一个论证的真前提大多数都是通过科学公理、证明,或者历史学家、地理学家及其他事实发现者的观察来回答的。
  • 说服力就是一个演绎论证具有1)可识别的有效性;2)可接受的前提;3)比结论更加明确可接受的前提。三个条件缺一不可。说服力不等于可靠性,有时候,一个论证不可靠,但仍然很有说服力;另一方面,有时候可靠的论证也可能没有说服力。

二、欧几里得的《几何原本》,是一个严谨的借肋演绎推理展开的系统。它从定义、公设和公理出发,一步一步地推证出了大量的、结论并不直观的几何定理。公理是许多学科都要用到的量的关系,如“与同一物相等的一些物,它们彼此相等”,“全量大于部分”,等等。而公设则是专门为了几可对象而提出的。按现代数学的观点,公理和公设是一回事,没有必要加以区分。从前,公理被认为是自明之理,是真理,是相对真理或绝对真理,是不必再加以证明的命题。既然把欧几里得的公设看成是人类理性可以洞察的自明之理,数学家自然按照这个标准来要求它。结果发现欧几里得第五条公设“若一直线与其他两条直线相交,以致该直线一侧的两内角之各小于两 直角,则那两直线延伸足够长后必相交于该侧。”叙述起来那么复杂,理解起来并不见得容易,很不像一条自明之理。能不能取消这个公设作为公设的资格呢?这个诱人的思想吸引了欧几里得以后的许多数学家。然而,两千多年来无一例外地都失败了。到了19世纪,数学家从反面入手想问题。果然,俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利的波尔约和被称为“数学王子”的高斯几乎同时各自独立地发现了另一种几何学——非欧几何学。随后,黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里,不存在平行线,直线不能无限延长,三角形内角和大于两直角,圆周率小于π。现在,在我们面前摆出了这样的问题:三种几何学在逻辑上都能自圆其说,那么,哪一种是真的呢?对于纯数学家来说,这个问题好解决。三种都是真的。这说怪了!怎么可能三种都真呢?它们是彼此矛盾的呀!三角形的内角和,到底是大于180度,小于180度,还是等于180度呢?原来,纯数学家所说的真,是指不论哪种几何,只要它的公理公设成立,它的定理就成立。这么说,这里所谓的“真”,不过指的是其逻辑上不自相矛盾而已。即:只要符合演绎论证的有效性就可以了,不必达到可靠性要求。现在,数学家的看法变了,没有什么自明之理。即使有,也不必要求数学公理是真理。现代数学公理仅仅是对数学对象的性质的约定。什么是直线?直线就是满足我的这几条公理的某种东西。满足欧几里得公理,叫欧氏真线;满足罗巴切夫斯基公理,叫罗氏直线;等等。公理对不对,这个问题对数学家是没有意义的。数学家只说:如果某一些对象适合于这些公理,它一定也适合于从公理推出的定理。在这个意义上,数学定理总是对的,就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样。它依赖于下棋的规则。当然,数学公理也不是完全任意由人们来约定的。一般来说,数学公理要满足1)相容性或协调性;2)相互独立性;3)完全性,三个条件。其中最重要的是相容性。现代数学对公理看法的这种进步,大大解放了数学家的思想,现代数学中各种公理系统层出不穷,谁也不能说谁的公理不对。然而,有些公理系统很有用,很受欢迎;有些公理系统没什么用,“束之高阁,并不实行”,建立之后渐渐被人们忘了,甚至没有人注意它。

三、议论文体主要是以议论为主要表达方式的一种文体。它具有1)思想明晰;2)观点鲜明;3)说服力强,等特点。论点是作者在文章中所阐发的主要观点,它在整个论证过程中处于主导和支配的地位,对论据和论证具有制约作用。论据是证实论点的根据。论据一般可分为两 类,一类是事实的材料,一类是理论的材料。事实材料就是用现实或历吏存在的具体事例或数据作为论据。理论材料是对事实材料的概括,它包括前人的经典著作和至理名言,民间的谚语,科学上的公理和定律以及政策法律等等。作为论据的公理,一定要具有权威性和真实性,而且这种真实是人们通常意义上来理解的真实,不是经过高深玄妙的科学证明才发现的真实。也就是说,在使用演绎论证的时候,一定要确保论证的可靠性,不能仅仅达到有效性,否则根本无法具有说服力。在这点上,写议论文与现代数学论证定理所用的公理是有不同的。

逻辑思维是数学论证和议论文写作的灵魂。从小有意识地培养逻辑思维能力是很有必要的。逻辑思维能力和想象能力是助推你探寻科学深空的两只翅膀~~

参考文献:1、《数学与哲学》张景中院士著;2《逻辑思维简易入门》机械工业出版社出版;3、《新编大学写作》徐中玉主编。

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