三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)

运用“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”,可以解决三角形三边之间的关系问题。由于这两个知识点后者可以由前者推得,所以处理三角形三边之间的关系问题有前者就足够了。前一知识点的另一个说法是:若a、b、c分别为三角形的三边,则可以随意推得下列结论中的一个或几个,即a b>c,①b c>a,②c a>b③;反之,若要使a、b、c能够成为某个三角形的三边(构成三角形),则①、②、③必须同时成立,缺一不可。

一、三边大小关系确定型

若a≥b≥c,则①、③两式恒成立,此时只须满足b c>a即可,亦即三角形较小两边之和大于最大边。

例1、已知线段a、b、c的长度满足a<b<c,那么以a、b、c组成三角形的条件是( )

A、c-a<b

B、2b<a c

C、c-b>a

D、b2<ac

解析:C为最长边,故a b>c即可,由此式有c-a<b,故本题应选A。

例2、设a>0,某三角形的三边长依次为a-2,a,a 3,求a的取值范围。

解析:易知a-2<a<a 3,则(a-2) a>a 3,故a>5。

例3、下列能组成三角形的一组线段是( )

A、2,3,5

B、2,6,3

C、a 2,2a 3,3a 4(a>0)

D、1-a,2-a,3-2a(a<0)

解析:在A中,2 3=5;在B中2 3<6;在C中,a 2<2a 3<3a 4,且有(a 2) (2a 3)>3a 4;在D中,(1-a) (2-a)=3-2a。综上可知,A、B、D应排除,正确答案为C。

二、仅有两边大小关系确定型

若a≥b,则③式恒成立,此时只须满足a b>c且b c>a即可,针对第三边c,由此两式易得a-b<c<a b,亦即三角形的第三边大于长边与短边之差,而小于长边与短边之和。

例4、两根木棒的长分别为8cm,10cm,要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形,那么第三根木棒长x的范围是 。

解析:因10>8,故l0cm-8cm<x<10cm 8cm,即2cm<x<18cm。

例5、已知等腰三角形的周长为20,腰长为x,求x的取值范围。

解析:易知三边长分别为x,x,20-2x,因x=x,故视20-2x为第三边,则x-x<20-2x<x x,即0<20-2x<2x。解得5<x<10。

例6、已知:三角形的一边是另一边的2倍,求证:它的最小边长在它周长的

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(1)

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(2)

之间。

解析:设三边分别为a,b,c,且a=2b。因a>b,c为第三边,故a-b<c<a b,即2b-b<c<2b b。∴b<c<3b,由此知b为最小边,并继续有(a b) b<(a b) c<(a b) 3b,∴2b b b<a b c<2b b 3b,4b<a b c<6b,解得

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(3)

(a b c)<b<

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(4)

(a b c)。

三、三边大小关系未定型

此种情况须综合考虑①、②、③,才能正确解题。

例7、三角形的边长分别为a、b、c,且|b c-2a| (b c-5)2=0,则b的取值范围是 。

解析:由题设条件易得b c=5,a=

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(5)

,此时b c>a已成立,考虑①、③,得

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(6)

b>5-b且(5-b)

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(7)

>b,解得b>

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(8)

且b<

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(9)

。∴

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(10)

<b<

三角形的三边关系和题型(三角形三边关系问题的分类)(11)

例8、设三边不等的三角形的各边之长都是整数,周长等于15,那么这种三角形的个数有

个。

解析:设三边分别为a,b,c,且a>b>c,则b c>a,∴a b c>2a,即15>2a,∴a<7.5。

又a>b, a>c, ∴2a>b c,3a>a b c,即3a>15,∴a>5。又a<7.5,∴5<a<7.5,a=6或7。

当a=6时,b c=9,易知满足6>b>c的整数为b=5,c=4;当a=7时,b c=8,易知满足7>b>c的整数为b=6,c=2或b=5,c=3。故填3。

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