初中数学图形相似综合题（把握两个旋转相似基本模型）

数学学习有没有捷径？没有！有没有套路和模型？这个可以有！下面老师带你探究旋转变换学习新技能，建立模型，梳理旋转几相似结合体的解题的"套路"，对数学高效学习非常有帮助。下面通过例题的深度学习将为大家系统地梳理相似三角形旋转问题的两个基本模型的简洁明快的应用，体味旋转应用魅力。

旋转相似的两个基本模型如下：

类型1．探索绕公共顶点的相似形的旋转

例1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′BC′．

（1）如图1，当点C′在线段CA的延长线上时，求∠CC′A′的度数；

（2）如图2，连接AA′，CC′．若△CBC′的面积为3，求△ABA′的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P′，直接写出线段EP′长度的最大值与最小值．

【分析】 本题的第（1）问和第（2）问是典型的由旋转全等得相似的"手拉手"模型。我们知道：旋转三角形可以得到共顶点等膘三角形，反之，共顶点双等腰模型可以得一组旋转全等三角形。而这一组等腰三角形是相似的（也有可能全等），这样一转，不仅转出了一组全等，而且还转出了一组相似，一举两得。倘若再拓展一下，边旋转，边放大（或缩小），这样的变换，将得到两组相似，这恐怕就是老师所说的"一转成双"。

本题的第（3）问是最值问题，图形变换的最值问题往往蕴含着轨迹思想。本例中的点E是定点，点P'是动点，若点P'的轨迹是直线，则垂线段最短，若P'的轨迹是圆，则点圆之间，点心线截距最长（短）。

（1）由由旋转的性质可得：∠A′C′B＝∠ACB＝30°，BC＝BC′，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC′A′的度数；

（2）由△ABC≌△A′BC′，易证得△ABA′∽△CBC′，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA′的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P′在线段AB上时，EP′最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P′在线段AB的延长线上时，EP′最大，即可求得线段EP′长度的最大值与最小值．

【解析】 （1）由旋转得CB=C'B,∴∠C=∠BC'C, 又∵∠C=∠A'C'B=30°，∴∠CC'A'=60°。

（2）由旋转得∠ABA'=∠CBC', BA=BA', BC=BC' ，进而得△CBC'∽△ABA'，且相似比为BC:BA=6:4=3:2, ∴面积比为9：4。

（3）观察动态图：

P'的轨迹是以B为圆心的圆环。求EP'的最大值与最小值，转化为求E与圆环内任意一点间的距离的最大值与最小值。由于P是线段AC上的任意一点，所以需要确定出这个圆环的内圆半径和外圆半径。外圆半径显然是BC=6， 如图，连接BP,BP'，

∵CP=CP'，BC=BC'，∠C=∠C'， ∴△BPC≌△BP'C'， ∴BP=BP'

当BP为定值时，P'的轨迹是以B以圆心，BP为半径的圆。

∵∠C=30°，BC=6，∴3≤BP≤6，即3≤BP'≤6

∴ P'的轨迹是一个外圆半径为6，内圆半径为3的圆环 ，所以EP'的最大值为6 2=8，最小值为3-2=1。

变式1．（1）将两块等腰直角三角板AOB和COD按如图①放置，其中∠AOB＝∠COD＝90°，求证：AC＝BD．

（2）将两块含30°的直角三角板AOB和COD按如图②放置，其中∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC．

（3）将图②的三角板OCD绕点O旋转到点C，D，B三点一线时如图③所示，若AB＝14，CD＝10，求sin∠AOC的值．

【解析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；解（1）的关键是判断出∠AOC＝∠BOD，解（2）的关键是判断出 ，解（3）的关键是利用勾股定理求出线段的长．

（1）由等腰直角三角形的性质得出OC＝OD，OA＝OB，再判断出∠AOC＝∠BOD，即可得出△AOC≌△BOD即可；

（2）根据含30°的直角三角形的性质判断出OC/OA=OD/OB，再判断出∠AOC＝∠BOD，即可得出△AOC∽△BOD，即可得出∠CAO＝∠DBO，最后用等量代换求出∠CAB ABE＝90°，即可；

（3）先利用（2）的结论求出BD＝3，再利用含30°的直角三角形的性质得出OB＝7，OD＝5，最后用勾股定理求出DF即可得出结论．

sin∠AOC＝sin∠DOF＝DF/OD=3√3/14．

变式2．在锐角△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠ACB＝60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A ₁BC ₁．

（1）如图1，当点C ₁在线段CA上时，求∠CC ₁A ₁的度数；

（2）如图2，连接AA ₁，CC ₁．若△ABA₁的面积为12，求△CBC ₁的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P ₁，则线段EP₁长度的最大值是 ，最小值是______ ．

【解析】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．

（1）由由旋转的性质可得：∠A ₁C ₁B＝∠ACB＝60°，BC＝BC ₁，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC ₁A ₁的度数；∠CC ₁A ₁＝120°．

（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易证得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC ₁的面积；∴S△CBC ₁＝27/4；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．答案：12；3√3﹣4．

类型2 对角互补型中的旋转相似：

例2．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一点，PM⊥PB交AD于M．

（1）求证：BP/PM=AD/DC；

（2）若MA＝MP，AB＝3，BC＝4，求AP的长．

【分析】利用旋转观点寻找基本图形2，寻找相似三角形；

本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

（1）连接BM，先证明A、B、P、M四点共圆，再证明△ADC∽△BPM即可解决问题．

（2）作BN⊥AP于N，先证明BA＝BP，再求出BN、PN即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接BM．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠D＝90°，

∵PM⊥PB，∴∠BPM＝90°，∴∠BAM ∠BPM＝180°，

∴A、B、P、M四点共圆，∴∠MBP＝∠DAC，

∵∠D＝∠BPM＝90°，∴△ADC∽△BPM，∴AD/PB=DC/PM，∴BP/PM=AD/DC．

（2）解：作BN⊥AP于N．

在RT△BMA和RT△BMP中，BM=BM,AM=PM，

∴△BMA≌△BMP，∴AB＝PB＝3，

在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴由勾股定理可得AC＝5，

∵1/2•AB•BC＝1/2•AC•BN，∴BN＝12/5，

在RT△PBN中，由勾股定理可得PN＝9/5，

∵BA＝BP，BN⊥AP，

∴AN＝NP，AP＝2PN＝18/5．

例3.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图（1），若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证DE/CF=AD/CD；

（2）如图（2），若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE/CF=AD/CD成立？并证明你的结论；

（3）如图（3），若BA＝BC＝4，DA＝DC＝6，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出DE/CF的值．

【分析】利用旋转观点寻找基本图形2，寻找相似三角形；

本题主要考查了相似形综合题目、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

（1）由矩形的性质得出∠A＝∠ADC＝90°，由角的互余关系整除∠ADE＝∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；

（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF＝∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A＝∠CDM，∠FCB＝∠CFM，证出∠BEG ∠FCB＝180°，得出∠AED＝∠FCB，因此∠CMF＝∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例DE/CM=AD/DC，即可得出结论；

（3）连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，由勾股定理求出BD，由SSS证明△ABD≌△CBD，得出∠ABD＝∠CBD，由等腰三角形的性质得出AM＝CM，∠AMD＝90°＝∠BAD，证明△ABD∽△MAD，得出对应边成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由△ACD的面积求出CN，证明△ADE∽△NCF，得出对应边成比例，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADE ∠CDE＝90°，

∵DE⊥CF，∴∠DCF ∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，∴DE/CF=AD/DC；

（2）解：当∠B ∠EGC＝180°时，DE/CF=AD/DC成立，

理由：如图（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠A＝∠CDM，∠CFM＝∠FCB，

∵∠B ∠EGC＝180°，∴∠FCB ∠BEG＝180°．

∵∠AED ∠BEG＝180°，∴∠AED＝∠FCB，

∴∠CMF＝∠AED，∴△ADE∽△DCM，

∴DE/CM=AD/DC，即DE/CF=AD/DC；

（3）解：DE/CF=13/12．

理由如下：连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，如图（3）所示：

∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝6，∴由勾股定理可得BD＝2√13，

在△ABD和△CBD中，AB=CB,DA=DC,BD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，

∵AB＝CB，∴BD⊥AC，AM＝CM，∴∠AMD＝90°＝∠BAD，

又∵∠ADB＝∠MDA，∴△ABD∽△MAD，∴AD：DM＝BD：AD，

∴AD²＝BD•DM，即6²＝2√13DM，∴DM＝18√13/13，

∴由勾股定理可得AM＝12√13/13，∴AC＝2AM＝24√13/13，

∵△ACD的面积＝1/2AD•CN＝1/2AC•DM，

∴6×CN＝24√13/13×18√13/13，解得：CN＝72/13，

∵DE⊥CF，∠BAD＝90°，∠EDA＝∠EDA，∴∠CFN＝∠DAE，

∵CN⊥AD，∴∠CNF＝∠DAE，∴△ADE∽△NCF，∴DE/CF=AD/CN＝13/12．

做数学题，是我们巩固数学知识的基本技能，是我们学好数学的重要环节，也是我们考试拿取分数必要条件。如何应用旧知识来解决"新面孔"才是能力，进行抽象，挖掘本质，达到"寓学于乐"，从而达到"赏玩数学题于股长间"的目的。旋转相似基本模型其实每个人都能掌握，但想不到用。曾经我向一位经验丰富名师请教问题时，他说："如果一个月后冷不丁的再给你这个题，你还会吗？"我诚惶诚恐，因为当时只想到要会这个题，而不是去反思总结。所以我们应该在"有所总结，有所发现，有所创造"中前进，从而达到一类题的融会贯通，这样也达到了少做题的目的。学会条理归纳知识点，解题模型是多么重要啊！在游泳中学游泳，据此道理，我们也可以在做题中学做题。

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