等腰三角形底边上任意一点到两腰（等腰三角形底边上任意一点）

我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

我们可以先将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，将点P移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD PE=BE。

这也是特殊值法中的一种特殊位置法，也可以说是极限法。在特殊位置时，我们可以得到结论，该点到两腰的距离之和等于腰上的高。那么，对于底边上的任意一点适用吗？我们可以过点B作AC边上的高BF，然后借助“等积法”来解决这一问题。即△ABC的面积为△ABP与△ACP的面积之和，可以得到AB×PD÷2 AC×PE÷2=AC×BF÷2，由于AB=AC，那么可以得到：PD PE=BF（定值）。因此，可以得到结论：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值，等于腰上的高。

利用该结论，我们可以解决哪些问题呢？

例题1：如图，△ABC中，AB=AC=8，点P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，且△ABC的面积是14，求PD PE的值．

分析：利用等面积法解决，可连接AP，由图可得：S△ABC=S△ABP S△ACP，代入数值求解即可，如果记得结论的话，可以直接求出等腰三角形一腰上的高。

要注意的是，该三角形为等腰三角形，该点为底边上的任意一点。当然，有些题目的背景图可能不是直接的等腰三角形。

例题2：如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE PF的值是多少？

分析：利用勾股定理列式求出AC，过点D作DH⊥AC于H，连接OP，根据△AOD的面积列方程得到PE PF=DH，再根据△ACD的面积列方程求出DH。

那么，当该点不在底边上，而在底边上的延长线上呢？因此，我们在解题时，要注意题目中所给的条件，“线段”、“射线”、“直线”所得到的情况可能都不一样。在底边的延长线上，可能是在线段BC的延长线上，也可能在线段CB的延长线上，还需要分两种情况进行讨论。

若点D是底边CB延长线上的任意一点，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，DE DF还为定值吗？

若点D是底边BC延长线上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，DE DF还为定值吗？

若点D是底边BC延长线上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，DE DF还为定值吗？证明的方法与前面一样，不再重复证明，得到的结论也一样。